II. — Séries normales

Je vais maintenant rappeler succinctement les principaux résultats obtenus par MM. Fuchs et Tliomé ;ui sujet des équations linéaires. Soit

une équation où les coefficients P sont des poljnomes entiers en x. Je me propose d'étudier les intégrales pour les valeurs très grandes de | x |.

Si le degré des polynômes P„, P„(, . . . , Po va constamment en décroissant, il y a n séries de la forme suivante :

qui satisfont formellement à l'équation et qui, de plus, convergent si j J7 [ est assez grand. En d'autres termes, il y a n intégrales régulières.

Les valeurs de y. sont données par une certaine équation déterminante; il y a exception dans le cas où la différence de deux racines de cette équation devient un entier ; le logx peut alors s'introduire dans les séries.

Si le degré des polynômes P ne va jamais en croissant, mais ne va pas toujours en décroissant, et si le degré de Po est plus petit que celui de P,,, il y a dans certains cas m séries de la forme (2) (m <; n) qui satisfont formellement à l'équation, mais elles ne convergent pas toujours.

Enfin, si on laisse de côté certains cas limités et exceptionnels dont je parlerai plus loin, on démontre qu'il y a n séries de la forme suivante :

qui satisfont formellement à l'équation; Q est un polynôme entier en x. Une pareille série s'appellera une série normale, et elle sera d'ordre p si le polynôme Q est d'ordre p.

Malheureusement ces séries normales ne sont pas toujours convergentes. Si l'une d'elles converge, on dira que l'équation admet une intégrale normale. Mais cela n'arrivera qu'exceptionnellement.

Passons maintenant à l'examen de divers cas exceptionnels.

Le polynôme Q étant supposé connu, a nous sera donné par une équation H. P. — I. 3s