SUR LB8 INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES

déterniinanle. Dans le cas où celte équation a deux ou plusieurs racines différant entre elles d'un entier, il peut j avoir exception, et l'on peut trouver au lieu d'une série normale proprement dite une série de la forme suivante :

eQ j:"'[i|/o-<- loga:^.i|/i -+- log' a:.4't-t- ■ • • -t- log'i-.J/,/],

les (1/ étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de — ■

Nous appellerons une pareille série, série normale logarithmique à' oràre p. Soit a le coefficient de xp dans Q, et supposons qu'aucune des séries normales qui satisfont à l'équation (i) ne soit d'ordre supérieur à p. Il arrivera alors que a nous sera donné par une certaine équation facile à former.

Dans le cas où cette équation a des racines multiples, il peut arriver que le procédé qui permet de former les séries normales devienne illusoire. M. Fabry, dans une llièse récemment soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris, a fait voir que l'on peut former alors des séries de la forme suivante :

où Q est un polynôme entier de degré > (/j — i)n et Spn en x" et où •!; est

ordonné suivant les puissances croissantes de a; ". Ces séries, "énéralement divergentes, satisfont formellement à l'équation (i).

J'appellerai une pareille série, série anormale d'ordre yo.

Voyons comment l'ordre des séries normales se rattache au degré des polynômes P. Soit M,- le degré de P,. Soit

N,.= MiIl4:'.

Soit h la plus grande des n quantités N,-. Soit p l'entier qui est égal (ui immédiatement supérieur à h. On trouve que toutes les séries normales ou anormales qui satisfont formellement à l'équation (i) sont d'ordre y> au plus.

Je vais démontrer la réciproque.

J'appellerai le nombre h le rang de l'équation (i). Je vais faire voir que si n séries normales d'ordre égal ou inférieur à p satisfont formellement à une équation linéaire de la forme (i), cette équation est au plus de rang/j.

En eflet, l'équation peut s'écrire, en la divisant par P„,

d''y „ d^-^Y „ c/"-')' „ dy

les F étant des séries convergentes ordonnées suivant les puissances décrois-

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santés de x. La série F,- commencera par un terme a;"-"" et l'une au moins des séries F, coiumencera par un terme x'''-"~^K

Cela posé, soient

Si, Sj, . . . . s„

/) séries normales d'ordre p satisfaisant formellement à l'équation. Appelons SJ' la dérivée A'^"^" de S, formée d'après les règles ordinaires du calcul, en diflerentiant chaque terme comme si la série était convergente, puis en ordonnant. Formons un tableau de n lignes et de (n-f-i) colonnes où le i'^"" terme de la première colonne est S,-, et où le t'""" terme de la (A -t-i)'""'" colonne est S^. Soit Aa le déterminant formé en supprimant dans le tableau la A'*°" colonne. On calculera ce déterminant par les règles ordinaires du calcul, et l'on obtiendra une série divergente que l'on ordonnera de la même manière que les séries S.

Quant au quotient

si on l'effectue, d'après la règle ordinaire de la division des séries, on obtient une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x qui doit être identique à ± F,', et qui, par conséquent, est convergente.

Mais on voit sans peine, d'après la loi même de sa formation, qu'elle ne peut commencer que par un terme d'ordre p{n — /) en x au plus.

On a donc

D'ailleurs, supposons que l'on ait une équation de rang (p -+- 1), et que l'on forme l'équation qui donne le coefficient de jr/'+' dans les polynômes Q. Si toutes les séries normales étaient d'ordre yo ou au-dessous, toutes les racines de celte équation devraient être nulles, et il est aisé de voir alors que le rang de l'équation différentielle s'abaisserait.