III. — Cas du premier ordre

Nous commencerons par nous restreindre au cas où toutes les séries normales sont de premier ordre, c'est-à-dire où dans l'équation

le degré d'aucun des polynômes P ne surpasse le degré m de P,i. Soit alors A(

ion SLR LES INTEGRALES IRREGULIERES DES EQUATIONS LINEAIRFS.-

le coefficienl de x"' dans P,; nous formerons réijualion A„ a" H- A„i ««-'-!-. ..+Aia + Ao = o.

Soient (7|, rto, . . ., a„ les racines de celle équation que je supposerai d'abord toutes distinctes. L'équation (i) sera salisfaile alors par n séries normales du premier ordre de la forme suivante

où a,, a2, ■ . ., «rt sont des constantes convenaljlement choisies, et où cp,,

rs.2i • • •) '-^'1 sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de — •

Considérons la transformée de Laplace de notre équation (i) pour laquelleje renverrai à mon Mémoire su?' les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies, inséré au Tome 7 de V American Journal of Mathematics ('). Cette transformée pourra s'écrire

^ rf'"'' r. d'"-W ^ dv

(3) Q„, -, hQm-i-; ; -+-■■ • "1- Q. T +'.>««' = 0.

' dx'" di'"-' (/z

Les Q sont des poljnomes de degré n au plus en ;, et l'on a

(im=(z — ai)(z — a.)...(z — a„).

L'équation (3) admet alors n points singuliers simples,

Formons l'équation déterminante relative au point singulier :• = (/,. Les racines de cette équation seront

.le supposerai d'abord que jj,- n'est |)as entier positif nu négatif. 11 existera alors (m — i) intégrales de l'équation (3) qui seront iiolomorphes dans le voisinage du point -: = a,- et une m"'""' que j'appellerai i',' et qui sera de la forme suivante :

Construisons maintenant un contoui- fermé / , de la façon suivante. Du point a,comme centre avec un rajon très petit, décrivons un cercle. Par le point ai

( ' ) Ce Tome, p. 22IJ.

SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQCATIONS LINÉAIRES. 3oi

menons une droite jDaralléle à l'axe des quanlités réelles, et prolongeons-la indéfiniment dans la direction des quantités réelles négatives j elle coupera notre petit cercle en un certain point 6,. Cela posé, le contour ki sera formé comme il suit; on suivra d'abord la droite que je viens de définir depuis l'infini jusqu'au point 6,-, puis on fera le tour du petit cercle pour revenir au point 6,-, et enfin on retournera du point bi à l'infini en suivant la droite.

Si l'on se reporte au Mémoire cité (^American Journal of Matkematics, t. 7), on verra que l'intégrale suivante

prise le long du contour /. , est une intégrale de l'équation (i) pourvu que la partie réelle de x soit suffisamment grande, et en particulier si x est positif et très grand.

Nous décomposerons cette intégrale J, en trois autres

la première J; étant prise le long de notre droite de l'infini à />,■; la seconde JJ étant prise le long du petit cercle qui a pour centre le point oi et qui passe par le point 6,; et la troisième J," étant prise le long de la droite suivie en retour depuis 6t jusqu'à l'infini.

J'ai montré dans le Mémoire cité qu'on peut trouver deux quantités D et D'

telles que

lim — ii— - = D, lim ,', = D',

lorsque x tend vers linlini par valeurs réelles positives.

Comme, par construction, la partie réelle de 6, est plus petite que celle de a,, on peut en conclure qu'on aura

lim x'/ «-«.■'■( J; -t- i"-) = o, quel que soit q.

Ecrivons

P, = (i - „,.)3.-H C,(- -a,)P.+i + . . .-H C/,r5 - CT,)[5.+''-H R*,

Ra étant le reste de la série (4)- Je puis prendre le rayon de notre petit cercle assez petit pour que cette série soit convergente. On a alors

J';= f{z — ai)?te=-^dz-^-...+ CA- Ç {z — ai)^.+''e~^ dz -\- jï{,,e"->^dz, les intégrales étant prises le long du petit cercle.

302 SUR LBS INTÉGRALES IRnÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

J'ai montré dans le Mémoire cité que l'expression suivante

x'J e-'^i' 1 Ri e=' dz

tend uniformément \ers zéro pour toutes les valeurs de x quand k croît indéfiniment.

Cela est vrai d'ailleurs, quel que soit q.

D'autre part, l'expression suivante

(z — ai)'' e~^ dz

est représentée asymptotiquemenl par l'expression

(gî.ix/. __,)r(/, -f-i)j7-''-i e«.-'-.

Je veux dire que la différence de ces deux expressions multipliée par x''e~"i-^ tend vers zéro quand x grandit indéfiniment.

Il résulte de là que JJ, et par conséquent J,, est représenté asymplotiquement par la série suivante :

Or, il est aisé de vérifier que cette série n'est autre chose que la série normale

que nous avons définie plus haul. (On a a; =z — [î,; — i.)

Ainsi, une série normale du premier ordre, alors même qu^elle est dii'ergente, représente asymptotiquemenl une des intégrales de l'équation à laquelle elle satisfait formellement.

Cette série normale pourra s'écrire, à un facteur constant prés,

Ainsi, à chaque point singulier simple de l'équation (3) correspondra une intégrale de l'équation (i) et une série normale qui la représente asymptoliquement. J'ai supposé jusqu'ici que x tendait vers l'infini par valeurs réelles positives ; mais cela reste vrai quand x tend vers l'infini avec un argument donné, différent de zéro.

SUR LES INTÉGRALES 1RRKGULIÈRE8 DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3o3

Il faut toutefois faire attention à une chose. A chaque point singulier ai correspond une intégrale de (i), quel que soit l'argument de x; mais quand cet argument varie, cette intégrale ne reste pas la même; pour certaines valeurs de cet argument, cette intégrale se change brusquement en une autre qui n'en est pas la continuation analytique. C'est ce que j'ai exposé en détail dans le paragraphe V du Mémoire cité.

Comme à un point singulier corres[)ond toujours la même série normale, il en résulte que la même série normale ne représentera pas asjmptotiquement la même intégrale quand l'argument x variera, si ce n'est dans des cas exceptionnels.

Passons maintenant aux cas particuliers.

Nous supposerons d'abord que |îlj- étant entier, l'intégrale c, contienne un logarithme. Soit

l'y = O -f- log(.3 — «,)'!',

J,= / e=-''[(B -H i]/ log(3 — a,\\ dz = 1 e''''\i dz log(3 — a, ),

les intégrales étant prises le long de /»•,•. Ici encore nous aurons

en divisant le contour ki en trois parties comme il a été dit plus haut, et

de plus,

lirn xi e-".' (J', -H J',") = o.

Soit

^ = Co(i — i,)P.-l-Ci(î — a,)P.-+i-l-...

une série que nous supposerons convergente tout le long du petit cercle. Nous aurons alors

.r'/ e-''i'^i"j= SC/f I {z — a,)P.+''- e~'' iog{z — a/je-oi^'a?'/ dz,

l'intégrale étant prise le long du petit cercle. La série du second membre sera uniformément convergente quel que soit x, ainsi qu'il a été dit plus haut. 11 reste donc à trouver la valeur asjmptotique de l'intégrale

Ji,k = / (^ — at)?i+'-- e--^ \og(z — ai) dz

prise le long du petit cercle. D'autre part, aijpelonsy,/, la même intégrale prise le long du contour// tout entier et décomposuns-là en trois parties ;

Jiit = j'ik-^j'ik+j'h

3o4 SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

comme l'intégrale J,- elle-même. Nous aurons encore

lim x'i e-"i'--(j"n.-hj"i'i) = o,

ol, par conséquent, la valeur asjmptotique <\e j"i^ sera la même que celle de /,i. Calculons doncya- H vient

(z — ai)'' e-'^dz = (e"-''^'' — \) T(/t + i)ar-''-' e"-"^,

lorsque rintéf;rale est prise le lonj; du contour / /. En dilTérentiant par rapport à A, il vient

(3 — a,)'' e-^\og{z — ai)dz = 2ire"'"'' r(/! + \)x-''-' e''.-^-h (e"'^'' — i)/),

D désignant la dérivée de F^// + i ) j;~*~' e" •' par rapport à II. Si l'on fait /( =z 3; -f- A', et si l'on tient compte de ce fait que p, est entier, il viendra

11 résulte de là que J; est représenté asjmptotiquemenl par la série S Ckju = 2 JTi S C/,V( p,-+ /,■ + i)a;-P.-'*--' €•:■':,

qui est précisément la série normale

Le théorème démontré plus haut subsiste donc encore dans ce cas.

La formule qui donne J, quand on connaît c, devient illusoire quand p, est entier positif et qu'il n'y a |)ns de logarithme dans l'intéi^rale c, ; car alors l'intégrale

p, e-^ dz

prise le long du contour A"j est nulle. Il convient alors de remplacer le contour/,par un chemin d'intégration différent. On prendra pour ce chemin une droite menée à partir de «,• parallèlement à l'axe des quantités réelles et prolongée indéfiniment dans la direction des quantités réelles négatives. On verra ainsi que le théorème subsiste encore. Je dois ajouter que si [3, est entier positif sans que Vi contienne le logarithme, jî,- devra être supérieur ;'i [in — i). Considérons, par exemple, l'équation suivante :

x^ yY = ( a' x' + 2 ) /

SUR LES INTÉGRALES iriRÉGL'LIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3o5

qui admet pour intégrales

,...(i,) et --(i+^)

et dont la transformée de Laplace est qui admet pour intégrales

C étant une constante et F une fonction rationnelle.

Nous considérerons deux contours fermés li et A', formés comme le contour / , défini plus haut, et enveloppant, le premier le point ?., le second le point — a. Nous prendrons alors les intégrales

Ji\e--^dz et / V, e-'^ c/z,

et nous obtiendrons ainsi deux intégrales de l'équation en j'. Or, nous avons, à un facteur constant près, — 4^')

(',= log(3-a)H î H*,

<!> étant liolomorplie dans le voisinage du point 3 = a. On aura donc

/ p, c-' dz = I e--^' dz log ( 3 — cz ) + = 2 j u £"■' ( -

La seconde intégrale nous donnerait de même

Nous avons ainsi intégré l'équation en y, en nous servant seulement de l'intégrale (-'i et sans employer l'intégrale \\. Il importe cependant pour notre objet de montrer que l'on pourrait tirer quelque chose de cette dernière intégrale .

Traçons à partir du point a une droite et prolongeons-la indéfiniment dans un sens. Si r,, s'annulait ainsi que sa dérivée au point a, l'intégrale

t'o e-' dz H. P. — I. 3n

3o6 SUR LES INTEGRALES IRREGULIliRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

prise le long de cette droite serait une intégrale de IVMjuuLiou en y et il ny aurait rien à ajouter. Mais (•„ ne s'annule pas. \ oici donc ce que nous ferons; posons

y' satisfera comme y à une équation du deuxième ordre facile à former. Pour olitenir la transformée de Laplace de cette équation, il suffira de poser dans la transformée de réquation en j'

y' = iM s — a )2.

L'une des intégrales sera donc

Comme celte intégrale s'annule au point a ainsi que sa dérivée, l'intégrale

/ ^'<i e-'' ds = i {z — yif e=' dz

prise le long de la droite qui aboutit au point a satisfera à l'équation en y' ; on aura donc

f gUX

y=J (z-y:fc-.rdz^c^,

C étant un facteur constant. On en tire

y = C gï' ( - -t- p -H T .r j ,

|ii et Y étant deux constantes d'intégration. On voit qu'il faut prendre

Si maintenant ^,- est entier négatif sans qu'il y ail de logarithme dans c,. l'intégrale .1, se réduit d'elle-même à e"'-'^ niidtiplié par un [loljnonie entier en x.

Il reste à examiner le cas où deux des racines de l'équation (2) deviennent égales entre elles. L'équation (3) admet alors un point singulier double que j'appellerai «,. 11 peut arriver alors que dans le voisinage de ce point les intégrales de (3) soient irrégulicres. C'était impossible au contraire dans le cas des points singuliers simples.

.le reviendrai plus tard sur ce cas, en me bornant pour le moment à faire remarquer que c'est celui où l'équation (i) n'admet pas de séries normales, mais seulement de ces séries anormales dont il a été question plus haut.

Mais, à certaines conditions, les intégrales de léquation (3) pourront être