IV. — Intégrales normales
Quand une série normale est convergente, elle représente une intégrale de l'équation (i) et on l'appelle intégrale normale.
Nous nous restreindrons, comme dans le paragraphe précédent, au cas où toutes les séries normales sont du premier ordre. Soit alors
(■i) <•, = (3 - aipi -H C, ( : ~ «,-)15.+' + Cîf 3 — a, )3.+2-H. . .
une intégrale de l'équation (3), transformée de Laplace de l'équation (i). A cette intégrale correspondra une intégrale J,- de l'équation (i)
Vi e-^ dz
(A étant un facteur constant) qui sera représentée asymptotiquement comme nous l'avons vu par la série normale
3o8 SUR LES INTÉGRALES IBriKCULlKniCS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Pour ijiie celte série normale converge pour les valeurs suflîsamineul grandes de X, il faut et il suffit (jue l'expression
'(/G„(p,-hi)(p, + 2)...(p,+ n) tende vers une limite linie pour /; infini. Mais d'autre part on a lim '(/(p,-!- i)(|3,+ a). . . ([i,-t- n) = x pour x = x. Donc pour (jiie la série (4) converge, il faut que
liin v/(;„ = <),
et (juf par conséquent la série (2) converge dans toute l'étendue du plan. 11 faut donc que c, soit de la forme suivante
(z — aip.'^{z),
'■s{z) étant liolomorphe dans toute l'étendue du plan.
Je dis ([ue cette condition est suflisante.
Si elle est remplie et si l'on se reporte au Mémoire cité, on verra tjuc Ion peut toujours trouver trois nombres positifs b, c et // tels que
SI
\z — ai\> h.
Envisageons ensuite l'intégrale suivante
cette intégrale étant prise le long d'une droite menée à partir du point a; et prolongée indéliniment avec un argument w-(-t:, m étant l'argument de x. Cette intégrale sera toujours finie et ce sera une fonction de ,r qui sera holomorplie pour toutes les valeurs très grandes de x. De plus J,-.rPi sera uniforme et se reproduira quand on fera décrire à .r un contour fermé inlinimeut grand,
Je décomposerai cette intégrale en deux parties : J', prise le long d'une partie de la droite définie plus haut depuis le point z =(7, jusqu'au point
z = rt, — h e"^
et .)" prise le long de la seconde partie de cette droite depuis ce dernier point jusqu'à l'infini.
Il vient alors, en posant z = «(+ t..
J" «-".-'■ I < 1 Oei'-f'f' dt
SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. Sog
d'où Ton déduit aisément que, quel que soit P ar g ument de x, l'expression
a-?.-^2 J'; e-^i-'' tend uniformément vers zéro.
Quant à J,, il est aisé de l'évaluer; soit
!•, = (: — ai)':^'-+- Ci(z — rt,)?.-^'-i- IV,,
IV, désignant une suite de termes dont le premier est C2(; — «,)?'+-. On a
.j; = Af^ - «,)?,+ Ct{z-a,)?'-*'] e--'-(lz. + Cwie-^dz
On démontre tjue
tend uniformément vers zéro. De même en [losanl
j; = f[iz — «,,)"-.+ r., (z — aip>+' ] «=■'• elz
et si les deux premiers termes de la série normale qui représente asymptotique-
ment J, sont
A e".»- .£-?.-» + B e",'^ j;-p.-2 = II ,
on verrait que
^3,+3e-«,r(jj'H)
tend uniformément vers zéro.
Posons donc
on trouvera, en regardant L, comme une fonction de /,
où z icnd vers zéro quand t Itnid vers zéro et cela uniformément quel que soit l'argument de /. De plus, ce sera une fonction uniforme de /. Ce sera donc une fonction holoniorphe de / dans le voisinage de < = o. Donc L,- pourra se dévelopjjer en série convergente suivant les puissances de l. c. q. f. d.
Ce raisonnement suppose implicitement que p, est positif et plus grand que/i, puisque ce n'est que dans ce cas que l'intégrale J, est finie et appartient à l'équation (i) quand on la prend le long de la droite dont nous nous sommes servis et qui aboutit au point a,-. Si cela n'avait pas lieu, on remplacerait cette droite par un contour fermé, analogue au contour A", du paragraphe précédent et formé d'un petit cercle et d'une droite parcourue deux fois en sens contraire.
3 10 Sl'K LES INTÉGBALRS inRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIHCS.
Cette droite devra avoir raii;iinuMil (o + tz, m étant celui de x. Le raisonnement serait du i-esle absolunu-nt le même.
Il faut observer encore que dans le raisonnement qui précède nous n'avons pas clé obligés de nous appuyer sur ce fait que v, était une intégrale d'une équation linéaire, ou plutôt nous ne nous en sommes servis que pour établir l'existence des trois nombres positifs b, c et h tels que
I i^,-| < 6e'-| = -".l si |c — (7,j>/i.
En d'autres termes nous avons eu seulement à supposer que la dérivée logarithmique de i', tend uniformément vers une limite finie cpiand :; croît indéfiniment avec un argument donné.
Soit donc une fonction entière quelconque œ(;) jouissant de celte propriété. Soit
Nous supposons que quand ; croît indéfiniment avec un argument donné, la dérivée logarithmique de 9 tend vers une limite finie et déterminée, qui peut d'ailleurs varier quand l'argument de i varie. Formons l'intégrale
prise le long d'une droite partant du point zéro et s'étendant indéfiniment avec l'argument w -|- ~, w étant l'argument de x.
J sera représenté asjmptotiquement par la série
Co Cj 'iC, <■«!"
1 in — +. . .H = -(-....
D'après le raisonnement précédent, cette série devra converger pour les grandesvaleurs de x. Donc
tend vers une limite finie quand 11 croît indéfiniment. Cette propriété appartient à toutes les fonctions entières tp(3) qui satisfont à la condition énoncée plus haut.
Ce résultat doit être rapproché de celui que j'ai obtenu dans une Note intitulée : Sur les fonctions entières (Bulletin de la Société mathématique de France, t. Il, 188;^, n" 4, p. i3(j-i44).
De celte analyse, il suit que pour qu'une série noiniale converge, il faut et il
SUR LES INFÉGBALBS IRRÉGULIKRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3ll
suffit que Finlégrale Vi qui lui correspond dans la transformée de Laplace, soit égale à une fonction holomorplie multipliée par une puissance de [z — a,).
Mais il convient d'ajouter que nous avons laissé de côté le cas où vi contient des logarithmes et où p; est entier.
Soit donc
p,.= i,;--i- tv;iog(5 — «,);
<.-[ sera holomorphe ou tuéromorphe dans le voisinage du point z = o,. S'il est méromorphe, nous écrirons
t, „ ,, Gi G.2 Gr V , = P; -I- Wi = C, H ' ' '
Quant à w- nous l'écrirons
11';= Co-t- C,( ;; — «T,) H- CJc — a,)»-1-
Nous aurons alors
,= / v"j e~-'(lz-h I iv'î e=-'dz -h 1 ir; log(3 — «,) e=-f rfz.
La première intégrale est nulle; la seconde est égale à e"'^ multiplié par un polynôme entier de degré (r — i) en x; quant à la troisième elle est représentée asjmptoliquement par la série
e".-^ 2t"K[Co r( 1)3^-1 + c, r(-i)a7-' -H C2 r(3)ar-3 -i-. . .].
L'our que cette série soit convergente, il faut évidemment que
lim y/C„ = o
et par conséquent que w\ soit une fonction holomorphe dans tout le plan, v'i pouvant d'ailleurs être quelconque.
Cette condition est d'ailleurs suffisante; on a en effet, quel que soit l'argument de X,
ii= I "1 e"'^ dz -\- j «•/ log(z — a,) e--^' dz.
La première intégrale étant égale à e"^^ multiplié par un polynôme entier en .r, nous n'avons pas à nous en occuper. Quant à la seconde, si w\ est holomorphe dans tout le plan, elle sera toujours représentée asymptotiquement par la même série normale, et si l'on fait varier l'argument de jr, elle représentera une même fonction de x, uniforme et continue. En raisonnant encore comme plus haut, on verrait donc que la série normale correspondante doit être convergente.
3l > SIR LES INTÉGRALES IHRÉGI'LIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Si j3,- esl cnlier positif sans ((u'il y ail de logarilhme dans i,-, ce qui exige que
aliirs la condilion nécessaire et suffisante pour que la série normale correspondante conxerge, c'est que c,- soit holomorphe dans tout le plan.
Si enfin p,- est entier négatif sans qu'il y ait de logarithme dans c,, la série normale correspondante convergera toujours, car elle se réduira à un poljnome entier multiplié par une exponentielle.
Jai peu de ciiose à ajouter sur le cas <jù deux points singuliers simples a, el Hj se confondent en un seul point singulier double cij. Si les intégrales sont irréguliéres, il n'y a pas de série normale et nous devons laisser ce cas de côté. Si les intégrales sont régulières, il y a une équation déterminante qui aura
pour racines
Si [ji el [i'^- ne difl'érenl pas d'un entier, il n'y a rien à changer à ce qui précède; si [i,- et P'- différent d'un entier, il arrivera en général qu'une intégrale r,- sera
de la forme suivante
( 5 — «,)?'■[ 9 + (?' log ( I — «,• ) ].
a et o' étant holomorphes dans le voisinage du point s = «,. Pour que la série normale correspondante converge, il faut et il suffit ipie o et cp' soient holomorphes dans tout le plan.
Considérons maintenant une équation (i) et sa transformée (3); supposons que cette dernière n'ait que des points singuliers simples et qu'aucun des Jâ, ne soit entier. Alors nous aurons /i séries normales à chacune desquelles correspondra une fonction
»j holomorphe pour ; = (//.
Une série normale sera convergente si la fonction -j, correspondante esl une f(jnclion entière; l'équation (i) aura précisément autant d'intégrales noimalcs f|ue réqiialion (3) aura d'intégrales égales à nue fonction entière multipliée par une puissance de (s — a).
A une même intégrale de (3) ne pourront pas coiTcspondre plusicuis intégrales normales de (i). 11 n'en sei'a plus de même si plusieurs des p, sont cnticis et s'il y a des logarithmes. Supposons par ex(!mple que l'on ait pour une intégrale de (3)
p,= <f -1- ■\i log(s — a) -t- 0 log(3 — 0),
SUR LES INTÉGRVLES IRHÉGILIKRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3i3
■S et 9 étant holomorphes dans tout le plan et a étant holomorphe dans le voisinage des points a et /y, mais d'ailleurs quelconques. Les deux intégrales
1 Vi e--' dz et / v, e--^ dz
{k et /.' étant deux contours analogues à Ai et enveloppant le premier le point a le second le point b) seront deux intégrales normales de l'équation (i). Envisageons par exemple l'éqiialion suivante
dont la transformée de Laplace sera
d- V dv
C'est une équation hjpergéométrique, dont les points singuliers sont
avec des équations déterminantes, dont les racines sont respectivement
Pour ([ue dans le voisinage du point singulier a par exemple, une intégrale
prenne la forme
tj; -H s log( 3 — a),
f étant liolomoiphe dans tout le plan, il faut que l'une des racines de l'équation déterminante relative au point c = oc soit entière. Cela n'arrive que si
/( étant entier. Supposons donc [îl = «(« -|- i^. Alors l'équation (3') admet pour intégrale un polynôme entier P en z. Une seconde intégrale sera de lu forme
P = Plogi^-t-Q,
Q étant méromorphe dans le voisinage des points z ^ y., c = — a. Donc linlégrale
/ V e-^ dz
pi'ise successivement le long de deux contouis analogues à /, et enveloppant H. P. — I. 4o
3l4 Sl'H LES INTÉGRALES IRBÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
respectivement le point c ^ a et le point ;= — a, nous donnera deux intégrales normales de l'équation (i). Nous retrouvons ainsi un résultat donné autrefois par Liouville et qui, depuis les travaux de Al. Halphen, n'est plus qu'un cas particulier d'une théorie plus générale.
Gomme second exemple, nous choisirons l'équation suivante considérée par M. Halphen [Sur la réduction des équations linéaires aux formes intégrables, p. i8o)
Formons la tiansformée de Laplace, il viendra
/ I \ d^v d^v dv
et soily une racine cubique de l'unité. Les points singuliers seront
a, ■xj, ayî et x.
Les racines de l'équation déleriliinante seront pour les points singuliers à distance finie
I, o et — i.
Pour le point singulier oo elles seront données par
0 ( ; — I ) ( p — 2 ) H- 9 p ( 3 — I ) -H { 1 9 — /i' ) p -I- 8 — a «'^ = o ou
Cette équation admet la racine — 2; en la faisant disparaître, Il reste
p- -t- 4 p -(- 4 — rt* = o
dont les racines sont — i± n.
Dans le voisinage du point ; = -/, l'intégrale logarithmique v peut se mettre
sous la forme
s -i- 'i/ log(i — a), *
» étant méromorphe et 'l liolomorphe dans le don aine de ce point.
l'our que la série normale correspondante converge, il faut et il suflil que •{/ soit hoioniorphe dans tout le plan. Alois 'L doit correspondre à la racine { — 2-)-/i)
SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÉRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l5
fie la troisième équation déterminante et être un poljnome entier de degré (n — -a). [1 faut alors que n soit entier. De plus i doit être une intégrale de l'équation (3). D'ailleurs tout se passe de même dans le voisinage des points ; = «y , s = ctj^, de sorte que, pour que l'équation (i) admette une intégrale normale, il faut que l'équation (3) admette comme intégrale un poljnome entier.
Posons donc
il viendra
(J-H 2) (t + « + 2)(î — n H- 2)A, = a3(/-f- 3)(j -(-■2;(! -H i)Ai+3.
Nous prendrons le polynôme de degré (n — a); nous prendrons
i ^ n — 2 ( mod 3 ),
et cette équation nous permettra de calculer par récurrence tous les coefficients du polynôme '}, à moins que l'un des facteurs
i -h ■?., i + /i -<- 2, i — « + •> ne s'annule, ce qui ne pourra avoir lieu puisque
Donc il existera toujours, si n est entier et plus grand que 4) "'^ polynôme entier satisfaisant à l'équation (3).
Pour aller plus loin, posons z'^ =^ t; l'équation (3) deviendra
d^ V d"^ V dv
/•/* ç dv dv
+ 8ir---- +54<-7- -H 3<(i() — n2)-p +(8 — 2«')c = o. at^ at ' al
Il n'y a plus que trois points singuliers
o, I et x
et les racines des équations déterminantes sont respectivement
Supposons que n ne soit pas divisible par 3 et pour fixer davantage les idées
soit
n ^ I (mod 3).
■îlfi
srn i.F.s iNTi:(;nAi.F.s inHKiii r.iKDKS ues kqiations mneaihes.
Siiionl \, \, Z, trois intégrales de l'équallon en /, la seconde se réduisant, à •!>. ,1e choisirai ces trois intégrales de telle façon que, quand le point t tournera autour tlti point o, elles subissent la substitution linéaire
Quand on tournera autour du point i, nos intégrales subiront la substitution linéaire
abc
Les racines de l'équation déterminante étant o, i et — i , on devra avoir itlentiquement par rajipoit à S
De plus, comme une seule intégrale est logarithmique, il faut que ab' — ba' = b' ; rb' — c' b = — b.
Quand le point t décrira un contour de rayon très grand, les trois intégrales subiront la substitution linéaire
« bj cj o / o a b'j c'p
Mais en ce qui concerni' le point l ^= co, les racines de l'équation déterminante
sont — -) — 5 — I et par consecpient sont égales, a des entiers près.
à o, - et :7» 11 en résulte (jiie Ion a identiquement
a — S bj c/2
Ces conditions suffisant pour montre]- que
SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES HKS ÉQUATIONS LINÉVIRES 3l7
ceci nous conduirait aux hypothèses suivantes :
Les deux dernières hypothèses sont inacceptables, car elles conduiraient à admettre que l'équation (3") a une seconde intégrale holomorphe dans tout le plan et qui ne pourrait cire qu'un polynôme entier. Or cela est manifestement impossible.
Nous devons donc adopter la première hypothèse, et nous pouvons conclure que l'équation (3") a une intégrale de la forme
'L étant le polynôme défini plus haut et M étant méromorphe dans tout le plan. On arriverait au même résultat si l'on avait
« ï= 2 (mod 3).
On conclut de là que l'intégrale
' c e'--^ dz
prise successivement le long de trois contours analogues à ki et enveloppant respectivement le point a, le point y.j et le point ay-, nous fournira trois intégrales normales de l'équation (i).
Si pj- est entier négatif et si l'intégrale c, correspondante n'est pas logarithmique, l'intégrale J,- correspondante sera toujours normale. Reprenons par exemple les équations (i") et (3") et faisons-y /i = i . La théorie précédente semble alors en défaut, car l'équation (3") n'admet plus comme iotégrale un polynôme entier. L'intégrale générale de l'équation ( 3") est alors
A, B et c étant des constantes arbitraires. Nous n'avons plus alors ni intégrale entière, ni intégrale logarithmique, mais les intégrales sont méromorphes dans le voisinage des trois points singuliers. L'équation (i") doit donc encore admettre trois intégrales normales, ce qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier.
Dans le cas où ,3, est entier, positif, et où l'intégrale c, n'est pas logarithmique, une même intégrale de (3), holomorphe dans tout le plan, peut fournir
3lS SUH LES INTÉGRALES IRRIÎGUMKRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
plusieurs intégrales normales do (i). Ainsi si l'équation (3) admet une intégrale holomorphe dans tout le plan et s'annulant, ainsi que ses (n — i) premières dérivées en k points différents (^cjul doivent être alors des points à apparence singulière), l'équation (i) admettra /: intégrales normales.
Dans les exemples que nous avons considérés plus haut [équations (i') et (|i ')], les transformées de Laplace (3') et (3") avaient toutes leurs intégrales régulières. Cela arrivera toutes les fois que P„ sera de degré n et divisible para;", P,,-! divisible para;"-', P,,..., divisible par ûû"-^, . . ., P, divisible par x.
Supposons que l'équation (i) satisfasse à ces conditions. Alors l'équation (3) aura toutes ses intégrales régulières tant à distance finie que dans le domaine du point 3=00. Si donc elle admet une intégrale égale à une fonction entière multipliée par une puissance de s — a,, cette fonction entière ne pourra être qu'un polynôme.
D'où, cette conclusion, que si l'équation (i) satisfait aux conditions énoncées, une série normale ne pourra converger qu'à la condition d'être limitée.
Il est aisé de former des équations admettant un nombre déterminé d'intégrales normales.
Soit une équation linéaire
^ d"u , r/"-'M ^ du ^
où les polynômes Q sont de degré m < n. Cette équation admettra {/> — m) intégrales holomorphes dans tout le plan. Posons ensuite
Alors v satisfera aussi à une équation linéaire (3") facile à former. La transformée de Laplace de (3") aura alors évidemment {» — m) intégrales normales.
