V. — Cas du second ordre

Nous allons chercher maintenant à étendre au cas général les résultats qui n'ont été jusqu'ici obtenus qu'en supposant que toutes les séries normales sont du premier ordre et par conséquent que tous les polynômes P sont de degré égal ou inférieur à celui de P„.

Considérons une équation

Sl'R LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l9

OÙ les degrés des polynômes P„ vont en croissant, mais de la manière suivante : P„ sera par exemple de degré m; P„i sera de degré {m -+- i) au plus; P„2 de dei;ré [m -\- 2) au plus, etc.; P, de degré (m -\~ n — 1) au plus, el P„ de degré {m -\~ n) au plus. Il arrivera alors en général que l'équalion (1) admettra n séries normales du deuxième ordre

On aura d'ailleurs

tp,(a;) = eoi^'-*-''.-"^.?». 'J/, ( - ) >

'!( — 1 étant une série ordonnée suivant les puissances croissantes de -, mais généralement divergente.

Soit y=^f[x) une intégrale quelconque de réquation (1). Posons

11 est aisé de voir que u satistait à une équation linéaire d'ordre 11'^ ,^ d"'u ^ d"'—Ui du

où les coetficienls Q sont des polynômes entiers en x. Cette équation admettra les n- séries normales suivantes

qui sont toutes du deuxième ordre. Donc les degrés des polynômes Q iront en croissant de telle façon que le degré de Q„î /, ne puisse dépasser celui de Q„, de plus de h unités.

De plus cette équation (2), d'après son mode de formation, ne devra pas changer quand on changera j? en — x; d'où il résulte qu'un même polynôme R ne pourra contenir que des puissances de x d'une même parité. Chacun des polynômes Q sera ou une fonction paire ou une fonction impaire; si Q„, est pair, Q„!i sera impair, Q„!2 sera pair et ainsi de suite ; ce sera le contraire si Q„, est impair.

Posons maintenant

nous aurons

dxi' Ad \p — q ■'■ <J~P dt'l y^ -f-- f - 11

3iO SUR I.RS INTÉC.nVLES IRBÉGIILIÉRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

L'équation {2), qu'on peut écrire deviendra donc

ou bien

>, > qi,{>.xy-'i-i' != = o.

les Ry sont des polynômes définis de la manière suivante :

i^./ = ^ Q/> ( •' ^ y--'-" I j, Jt, y ^^ {plq\p^'iq; pi»^)-

Nous aurons en particulier

Soit m le degré de Q„, ; celui de Qp sera au plus égal à (in-\-n- — p). Le degré de R,,? (en x) sera égal à (m + «-). Le degré de Q/,(2 x)-,,p sera au plus égal à (m -\- n--\- 2C/ — 2/3); mais l'on observe que (q — p) est au plus égal à zéro, on verra que le degré de Qp{2x)-'/~f et par conséquent celui de Ry est au plus égal à {m -\- n-).

Donc le degré d'un quelconque des polynômes Ry est au plus égal au degré de R„,.

Nous pouvons toujours supposer que (in-\-n-) est pair. Car si cela n'était pas, nous multiplierions l'équation (2) par ûc, augmentant ainsi m d'une unité. Alors Q„, sera une fonction paire ou impaire selon que ni sera pair ou impair. De plus les polynômes Q^ devront être alternativement di;s fonctions paires ou impaires, d'où il suit que Qp{2x)-''~P et par conséquent R^ est toujours pair.

Si donc on remplace x'' par t, Ry est un polynôme entier en t.

L'équation (3) est alors une équation de même forme que (i), mais qui sera de rang 1 et non plus de rang 2, pour employer l'expression du paragraphe 2.

Soit par exemple l'équation

Soit j'i ce qu'on obtient en changeant ic en — x dans y ; on aura

Soit « ^yy, ; nous désignerons [):tr y', y\, u',y", etc. les dérivées successives