SIR LES IMÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
dey, yi el a. On obliendra en tenant compte des équations différentielles
fS')
« =yri,
«' =yy>->-yy\;
(^r-^--l)yyu
u" = (8 x'' + 4 — ■', }yyi^( I ■'. X ■
^i)yy\ + ('2 + J;)/>i + sx'-yr'i-
En éliminant entre ces cinq équations (5') les quatre (juanlllés y)',, y'y\, yy[, y'y\, on arrive à l'équation
/ 'N ,f/*'< d^"- , . d^u lia ,,,,,,
(■O x-^^-^x—-,x'-^-i(,x^^^-(hx^--^)a = o.
11 est aise de \ériller que cette équation est de rang 2. On trouve ensuite
R3 = Qv(').a7)2.i2 + Q3('>a-)3= Sfir'-,
R.2= Q4.r'. + Q3(2a7).6 + Qj(2a?j« = — i6t6+ •.)i.r2,
Ri= Q.J.2 -I- Qi(2x) =— 4oa:',
d'où enfin l'équation
qui, comme on le voit, est de rang 1.
L'intégration de l'équation (i) est ainsi ramenée à celle de l'cquattion (3) qui est de rang i. On formera donc la transformée de Laplace (4) de cette équation (3) et l'on obliendra ainsi u sous la forme d'une intégrale définie.
Comment, lorsque l'on connaîtra «, pourra-l-on obtenir j'?
Appelons )i ce que devient y quand on j change x en — x. On trouvera n--\- I équations de la forme suivante :
d^ II.
V V ^'^y'"y^ /po, ,,2,...,«2 X
Dans ces équations, F^py désigne une série de fonctions rationnelles en x.
D'ailleurs naturellement -^ — représente u. Ces équations sont analogues aux
équations (5') écrites plus haut.
3?.î Pl'R LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATlOiNS LINÉAIRES.
Si l'on éliiniiio par un iléterminanl, entre ces (/i-+i) équations, les n- produit/S ,,. d?y dyy
on obtiendra l'équation (2). Ne retenons plus maintenant que les /i^ premières équations (5), celles où l'on a pour a successivement les valeurs
On pourra alors résoudre les n- équalions par rapport aux n^ produits (6) (comme si ces «- produits étalent des variables indépendantes) pourvu toutefois que le déterminant correspondant ne soit pas nul, ce que nous supposerons. Nous nous réservons d'ailleurs d(; revenir plus loin sur le cas |)arliculier où ce déterminant est nul.
On tirera en particulier
dy
sous la lornie suivante :
rlu ^ .d'u . dn''-i u
yy, = *„ u + *, ^^ + *,]^ + . . . + *„.-, ^^-^ ,
dv . . du . , d"'-' u
ce qui donnera enfin
dy __ Ad '' dxi' Zf " dxr
Si u est connu, cette équation donnera j' par une simple quadrature.
On peut d'ailleurs obtenir ce résultat d'une infinité de manières; en
calculant
d^ri ,,^ dy d^Xi y dx'^ dx dx^
Il n'arrivera pas que toutes ces quantités soient nulles à la fois.
Voyons malmenant ce qu'il faudrait faire si le déterminant était nul et si par conséquent on ne pouvait pas résoudre les équations (5) par rapport aux n^ produits (6j.
Pour le voir, faisons « = a et écrivons les équalions (5) en reprenant la
SlIH LES INTÉGIIAI-ES IHRKIiLI.IÉRES DES KQrATlO.NS LINÉAIRES.
notation de Lagrange
= ■•^ yy^ -t- 1' yy\ -^ c fy^ -+- d y'y\ ,
"= "^'yyx + B>r', + C'^-'j-, + l>'yy\ ;
A. B, C, D, A', B', C D' seront des fonctions rationnelles de x telles que le
déterminant
soit nul. Nous supposerons toutefois que les mineurs du premier ordre ne soient pas tous nuls à la fois. Nous pourrons alors écrire
yy'= «-
yy\ = a H -4- |î (t'-+- Y u"-¥- s «'"+ E y'y\ , y'yi = a.'ii -^ fJ'(('-!- y'""^- 8'i<"'+ i'y'y\,
a, |j, V, etc. étant lalionnels en x. En faisant le produit des deux dernières équations et en y remplaçant yy\ par (/, on obtient une équation du second degré en y'y\- 11 en résulte que y'y\ et par conséquent )'j'i, yy\, y'yi et
enfin — sont des fonctions algébriques de .r, it , ii' . ii" et //".
Toutes les fois donc que le déterminant
sera nid, l'expression
sera non plus une fonction rationnelle mais une fonction algébrique de ,r, de u et de ses dérivées. Donc quand on connaîtra u, on en déduira y par une simple quadrature.
Il est facile maintenant d'étendre au cas général ce que nous venons de dire des équations de rang 2. Supposons que (i) soit une équation de rang p et soit satisfaite par n séries normales d'ordre p. Soit
ot
dy y dx
3ï4 Sln l.KS INTKGR\LKS IRnKUl'MKRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
une intégrale ([uclconque de l'équalion (i). Posons
a étant une îles racines ^"'""'* priniilives de l'unité.
Il arrivera alors que ii satisfera à une équation différentielle linéaire (2) de rang j) et d"ordre «'' dont les coelTicients seront des polynômes en x. L'équalion ne devra pas changer si l'on change x en y.x. Il en résulte que si l'on écrit cette équation sous la forme
on de\ ra avoir
. k — /( = une constante (moH/)).
En multipliant l'équation par une |)uissance convenablement choisie de x,
on aura alors
k !^ h ( iiiocl p).
Faisons maintenant
xP = t.
L'équation ( a) deviendra par ce changement de variajjle
les Ry étant des polynômes entiers en /. Cette équation (3) sera de rang i. Supposons qu'on en tire u; comment ohtiendra-t-on j? On obtiendra nP -\- i équations
(5) I (It=^ Zl ^'^••■■'■,/,,:i di-t '" ,/.,■>.
Dans ces équations, les F sont des fonctions rationnelles de r, tl y,, désigne la fonction /(aîx).
Ues nP premières équations [j) on tirera les 11 '' produits :
d:'y dty '/b-r-\
dxP dx-( dxK
Si l'on considère en effet ces nP produits comme des \ariables indépendantes, les nP premières équations (;")) seront linéaires par rapport à ces nP variables. On pourra donc les résoudre, pourvu que leur déterminant ne soit pas nul.
SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQl'ATIONS LINÉAIRES. 325
On obtiendra ainsi
les $ étant rationnelles en x. On en tirera
^ '' dx'l
y dx -^ di u
Zi^''d^
de sorte que la dérivée logaritlimif[ue de )■ est une fonction rationnelle de x, d<' u et de ses dérivées.
Si le déterminant des équations (5) était nul, cette dérivée logarithmique ne serait plus fonction rationnelle, mais serait fonction algébrique de x, de u et de ses dérivées.
Dans tous les cas, si l'on suppose ii connu, y s'obtiendra par une simple quadrature.
