VI. — Généralisation des paragraphes III et IV
Quelle est la condition pour que Téqualion (i) envisagée dans le paragraphe précédent ait une intégrale normale, c'est-à-dire pour que l'une des séries normales qui j satisfont converge?
Supposons pour fixer les idées que cette équation
soit de rang 2 et soit
■ es ( ar )
une série normale qui y satisfasse; nous allons chercher la condition pour que cette série converge. Si elle converge, il en sera de même de
ou encore du produit
S = C>5"'3i(/Ï)cp(^ /<),
OÙ l'on a posé
Mais cette série normale S, qui est du premier ordre, satisfera formellement
3l6 SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES K(Jl'ATIONS LINÉAIRES.
à réqiialiiiii
(iiie l'on toriiiern i-oninie dans le paragraphe précédent, en appelant y, ce que devient^ quand on change a; en — x, et en faisant u ^=yy\ et l = x-.
Mais cette étjuation (3) est de rang i; pour qu'elle admette une intégrale normale, il faut donc et il suffit que sa transformée de Laplace (4) admette une intégrale de la forme sui\anl(' :
G{z) étant une fonction entière de :■.
Celte condition est donc aussi nécessaire pour que l'équation (i) ait une intégrale normale.
Je dis qu'elle est également suflisante. Supposons en ell'et qu'elle soit remplie; alors on pourra trouver une intégrale de l'équation (3) qui *oit de la foriiii'
o désignant une lonction holomorphe en - pour / = oo.
Nous avons vu au paragraphe précédent qu'en supposant que le déterminant des équations (5) ne soit pas nul, on aura
yy
dy -^ di u
'di •^' ""lu '' rf^ '
les <ï> et les «!>' étant rationnels en x. Si dans ces équations nous remplaçons u par sa valeur (6), puis que nous les divisions l'une par l'autre, il vient
dv , c d e
— f- = •>. aa; -H o H 1 H -I-
y dx X .r' X'
Car on voit aisément que
d'I II
peut se développer en série suivant les puissances croissantes de
Sin LES INTÉGRALES IRRÉUUHÈBES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 327
On en déiliiil aisément
■l étant une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de - • I>a condition énoncée plus haut comme nécessaire est donc aussi suffisante.
Elle l'est encore si le déterminant des équations (5) est nul. Il arrive alors
que l'on a
i/y I du d"'—' u \
yH: " V^' "' d^' '"' dx"'-' ) '
F étant ralgorithme d'une l'onction algébrique. De plus, la fonction F est
