du d"'~^u
homogène et de degré zéro par rapport a «, -y-, • ■ • , , ^,^ ■
Si donc on y remplace n par son expression (6) l'exponentielle g-"-*' qui entre dans celte expression disparaîtra, ce qui montre qu'après cette substitution le point .r = o) sera pour la fonction F (qui ne dépend plus maintenant que de x puisqu'on a remplacé ii par une fonction connue de ,r) un point singulier algébrique.
On pourra donc développer F suivant les puissances décroissantes (entières ou fractionnaires) de x. Si l'on n'a que des puissances entières, il viendra
dy c
y dx X
et l'on retombera sur le cas précédent. Si au contraire on avait des puissances fractionnaires, on trouverait
'.p étant l'algorithme d'un polynôme entier et i celui d'une fonction holomorphe.
L'équation (i) devrait donc être salisfaite par une série anormale, ce que nous n'avons pas supposé.
On doit donc en conclure que la condition énoncée est dans tous les cas nécessaire et suffisante pour qu'une équation de rang 2 ail une intégrale normale et l'on verrait delà même manière qu'il en est de inème pour une équation de rang quelconque.
Supposons maintenant que la série normale qu(i nous envisageons et qui satisfait à l'équation (i) ne soit pas convergente. Soit
S = e'-^-'+l^^Ti- <f(x}
cette série normale divergente; formons la série
■îîS SIR I.KS INTÉtin.M.ES inilKOll.IKRIÎS DKS ÉQUATIONS I.IMSAIRES
et inulliplions ces deux séries membre à membre, nous trouverons
S'= SS, = e-"' Ù- i>{s/T) 'ii— \/'~t) {I = x^)
et S' sera une série normale du premier ordre en t et qui satisfera formellement à l'équation (3) qui est de rang i. Cette série S' représentera alors asymptotitpiement une certaine intégrale // de cette équation d'après ce que nous avons démontré au paragraphe 111.
Si l'on pose ensuite
ily Ai '' dx'i Y dx x^ ^ (/'/
Zi ■' dx-i
(les <ï> elles «!>' ayant même signification que plus haut) >• sera une intégrale de l'équation (i)-
Je dis que j' sera représenté asymplotiquement par la série S.
En effet, on pourra former, d'après les règles ordinaires du calcul, les séries
suivantes :
di'i' •<c^ . d''S'
On obtiendra ainsi deux séries divergentes qui représenteront asymplotiquement
y, , ai M V"' . "'' "
Jmd ' dx'l ^U ' dx'l
Cela demande un mot d'explication; pour élaljlir les égalités asymplotiques
V^ i, rfvS' v' ., d'i II v' ^ rf'/ S' v^ ^ d'i u
• 1 r 1 d'IU , . . d'l'>' , , ,
il laut admettre que -j — est représente asymptotiijueuient par -^—^ , de la même
manière que u est représenté [)ar S'. Or les principes du paragraphe I ne permettent pas en général de différentier une égalité asymptolique comme une égalité ordinaire.
Mais ici celle difficulté ne peut nous arrêter. En effet u satisfait à une équation linéaire d'ordre n^ et de rang i, qui est l'équation (3). Il en résulte
immédiatement que -v,- doit satisfaire à une équation linéaire (8) qui sera
comme l'équation (3) d'ordre «^ et de rang 1. En raisonnant sur l'équation (8) comme sur l'équation (3), on verrait que cette équ;ition est satisfaite formel-
SIR LES INTÉGRALES inRÉfiUl.lKRES DES ÉQl'ATIONS LINKAIllES. 32i>
lement par une série normale et que celle série réprésente asymptotiquement une des intégrales de l'équation. On vérifierait ensuite sans peine que cette
1 diu .. . ■ d''S' ^ ,
intégrale est -j— et que cette série est —jT;f Un a donc asyniplotiquenient
tJ'/u __ d'/S' dl'l " dVi
et par conséquent
it'iu d'fS' lix'l dx'i
On a donc aussi asymploliquement
^ ■ ax'i
Il est d'ailleurs aisé de vérifier que
On auiu donc asyniplotiquenient
ix.0.1'- dx a,i ;i„
Si donc nous posons
les fonctions oj, et oj^, seront représentées asyniptoliquenienl par les séries
et S^, et l'on aura
dy foo
Mais
I — w. -H Ojf
est une fonction holomorplie de to, pour w, =0. On peut donc, d'après les principes du paragraphe I, y substituer son expression asjmptotique ï, d'après les règles ordinaires du calcul; on obtiendra une série divergente i'j qui repré-
sentera asyniiilotifiucnient •
33o SIR I.KS INTÉGRALES IRBÉGULIF.RRS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Mais d'après les principes du même paragraplie, nous avons le droit de multiplier les deux égalités asyniptoliqnes
d'après les règles ordinaires du calcul, ce qui nous donne asymploliquenient
Si je ra|)pclle (.-n milre que les principes du paragrajdu" I nous perinellent d'intégrer les égalités asyinplotiques comme les égalités ordinaires, j'écrirai
'"sr= / '/■ci;:ii;2.
ce qui nioiilre que log^' peut être représenté asjmptotiquement par une certaine série que l'on peut former aisément et que nous écrirons
ax^-\- bx -t- X \oex -l- — -H -^ h- . . • = ax- -t- b.c + X \ogx -+- Si, X x^
l'osons alors
y, sera représenté asymptotiquement par ^i,. Mais e'' est une (onction holomorphe de y, pour r, = o; j'y puis donc substituera la place de t, son expression asymptotique ï^, ce qui donne asymplotiquement
11 en icsultc que y est représenté asymptolicjuemcnL par une série de lorme normale qui ne peut être différente de S.
L'égalité asyniptotique
est donc démontrée.
Mais il convient d'observer tpic toutes les intégrales de l'équation linéaire (2) ne peuvent pas cire regardées comme le produit d'une intégrale y de l'équation (i) par ce que devient cette même intégrale lorsqu'on change .r en — x, m même comme le produit d'une intégrale y de l'équation (1) par une intégrale j, de l'équation (]') obtenue en cliangeant .t en — .r dans l'équation (1). Celle propriété n'appartient qu'à certaines intégrales j)articuliéres de l'équation (2).
SIR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÉRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 33l
Il résulte de la que si l'on tire j-- de l'égalité
d'i u dy ^"''' dx<J ydx" s^ ^ dfru .^ '' dx'l
la valeur de j' ainsi obtenue ne sera une intégrale de l'équation (i) que si l'on a choisi pour u certaines intégrales particulières de l'équation (2). Parmi ces intégrales particulières, on peut toutefois en trouver n- qui sont linéairement indépendantes.
11 est aisé do voir que parmi les intégrales de l'équation (2) il j en a une (que j'appellerai «,) qui est représentée asjmptotiquement par une série normale S| (en supposant par exemple, pour fixer les idées, que x croisse indéfiniment par valeurs réelles positives) et qui est telle que l'on en puisse trouver (/i^ — 1) autres dont le rapport à h, tende vers zéro (|uand x croît indéfiniment.
En appelant «o, «;,, . . . , it„, ce.s (//^ — 1) intégrales, on aura
Il ni — =0, Il m — =0, .... Il m ^ o.
L'intégrale générale de l'équation (2) sera alors de la forme
Al M| -f- Aj ((2 -(-• ■ --H A,,j»„>,
et elle sera représentée asjmptotiquement par la série AiS, pourvu cjue A, ne soit pas nul. Ainsi l'intégrale la ])lus générale de l'équation (2) sera représentée asjmptotiquement par une série normale.
Considérons maintenant, non plus l'intégrale la plus générale de l'équation (2), mais la plus générale parmi celles qui, substituées à a dans l'équalion (8), donnent pour y une intégrale de l'équation (i). Si l'on veut qu'il en soil ainsi, on ne peut pas choisir les constantes d'intégration A,, Ao, . . ., A„i d'une façon arbitraire; il faut qu'il j ait entre elles certaines relations quadratiques (9). Mais quand même on suppose que ces équations quadratiques (9) sont satisfaites, A, ne sera pas nul en général. Donc l'intégrale de l'équation (2) la plus générale parmi celles qui satisfont aux relations (9) est encore représentée asjmptotiquement par une série normale.
Il suit de là et des raisonnements développés plus haut que l'intégrale la plus générale de l'équation (i) sera représentée asjmptotiquement par une série normale.
33l SI R I.KS INTKGnAI.ES inilKC.l LIKRKS IIKS KQIIATIONS LINÉAIBES.
C'est (Imiis ce sens que les résultais du |)ar;ii;ra|)lie III peuveul èlre regardés
roiiime "('•iiéralisos.
Le raisoiiuenicut qui iiiécède s'applique comme si le délcrniinant des équations {à) étant nul, l'expression — ^ n'est plu-, une fonction rationnelle mais
ali^ébrique de ,r, de ii et de ses dérivées. Ce raisonnement est fondé en effet sur ce principe, démontré au paragraphe 1. ijue toutes les opérations du calcul sont applicables aux égalités asymptolicpies, si l'on excepte la diOérentialion. Il n'est pas permis en général de dilTérentier une égalité asymptotique. Mais d'après ce que nous avons vu plus haut, dans le cas particulier où u est une intégrale d'une équation linéaire, il est permis de difieientier 1 égalité asvmp-
totique
Il ne se présente donc aucune difliculté.
Il n V aurait rien à changer aux développt'ments qui précèdent, si l'équation (i) au lieu d'être de rang 2 était de rang quelconque.
Les résultats des paragraphes 111 et IV peuvent donc s'étendre au cas le plus général, avec les restrictions énoncées plus haut.
Je puis donc énoncer le résultat suivant qui sera la conclusion de ce Mémoire :
L'intégrale la plus générale d'une équation de rang quelconque est représentée asynq)totiquement par une des séries normales qui satisfont formellement à celte même équation.
Il peut}' avoir exception si l'équation admet des séries anorniak's.
Pars, le 7 février iSSCi.
