RÉPONSE A M. THOMÉ

Acta rnalheinalica, t. 10. p. .iio-3i2 (1887).

J'ai publié deux Mémoires sur les inlé;4rales irréi;ulières des équations linéaires, le premier Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies dans Y American Journal of mat hématies (t. 7, i885, p. 2o3-2;')Sj, le second Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires dans les Acta nia/hemalica (t. S, 1886, p. 29.')-344)- Ces deux Mémoires ont inspiré à M. Tliomé une Bemerhttng zur Théorie der linearen Di[ferentialgleichungen qu'il a fait imprimer dans le Journal de Crelle (t. 101, 1887) et que je ne puis laisser sans réponse.

Soit une équation linéaire de la forme suivante :

en P„4^H- P,,-,^^^' +... +P,^' + p„y = o,

t/x" dx"-^ dx "■'

où les P sont des polynômes entiers en x d'un même dej^ré m.

On démontre (jue, pour x très yrand, cette équation admet n intégrales de la

forme suivante :

les 'h étant des séries converaentes doublement inlinies procédant suivant les puissances positives et négatives de x. Mais on n'a aucun moyen de déterminer les exposants p et les coefficients des séries 4.

335 REMARQl'ES SUR LES INTÉGRALES MlBÉGliEIÈRES DES ÉQIATIONS LINÉAIRES.

D'autre jiiirl, ou trouve /; séries que j'appellerai S(hies normales et qui SAtisfont formellement à réqualion (i). Ces séries, cjiii sont généralement divergentes, sont fie la forme

eajJ^a-'.Oi a = i, ■>.,..., n).

les o étant des séries ordonnées suivant les puissances négatives de x. J'ai démontré à ee sujet deux théorèmes :

1° Pour qu'une série normale soil convergente, il faut et il suftil que la transformée de Laplace de l'équation (i) admette une intégrale holomorphe dans tout le plan :

2* Alors rjiiême qu'une série normale diverge, elle représente asymplotiquement une des intégrales de l'équation (i"), quand r croît imlc'linimeiil avec un argument déterminé.

M. Thomé attaque ces deux théorèmes, mais à deux points de vue différents. Quant au premier, il n'en conteste pas l'exactitude, mais il le déclare dénué d'intérêt. C'est là un point sur lequel il est malaisé de discuter.

D'après M. Thomé, il est aussi difficile de distinguer si l'équation transformée a une intégrale holomorphe, que de reconnaître si la série normale converge. J'en conviens volontiers, mais j'estime cju'il n'est pas inutile, quand on est en présence de deux problêmes également insolubles, de montrer qu'ils se ramènent l'un à l'autre.

On croirait que M. Thomé attendait de moi l'énoncé sous forme explicite des conditions de convergence des séries normales. Il ne dépendait pas de moi de le lui donner; ces conditions s'expriment évidemment par des relations entre les (« -I- i) (/« + i) coefficients des polynômes P; mais ces relations ne sont pas algébriques. Tout ce que l'on peut faire, c'est étudier les transcendantes qui y entrent. En établissant que la convergence se rattache à une propriété du groupe de l'équation transformée, je montrais en même temps que ces transcendantes sont intimement liées à d'autres fonctions que j'ai étudiées dans mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires (Acta niathematica. t. -i, i88^, p. aoi-.3i i) ('). Les résultats que j'ai donnés au sujet de ces deux classes de transcendantes sont, il est vrai, fort incomplets: mais il est probable que l'on n'en trouvera pas d'autres flic'i à quelque temps; c'est ce qui

(') Œuvres de H. Poincaré, t. II, p. 3oa.