REMARQUES SUR LES INTÉGRALES IRRÉGILIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
m'a déterminé à les publier, tout en partageant les regrets de M. Thomé au sujet des lacunes qui y subsistent encore.
Quant au second théorème, M. Thomé le regarde comme faux, et cela parce qu'il l'interprète de la façon suivante :
Ce serait toujours la même intégrale qui serait représentée asymptotiquement par la même série normale, quel que soit l'argument avec lequel x croît indéfiniment; d'où il résulterait que les exposants /•/ devraient être égaux aux exposants p,.
Je n'ai jamais dit une pareille bêtise et M. Thomé me la prête gratuitement. Le paragrapiie V du Mémoire de V American Journal est tout entier destiné à démontrer le contraire et j'ai encore répété le contraire à plusieurs reprises dans le Aléinoire des Acla mathematica, et en particulier dans les deux dernières lignes de la page 6og et les huit premières lignes de la page 3io.
En ce qui concerne ces dix lignes, je reconnais que j'aurais mieux fait de les souligner; mais, quant au paragraphe V, je ne pouvais imaginer qu'un paragraphe tout entier échappât au lecteur le plus inattentif.
Je |)révois la réponse de M. Thomé : mais, dira-t-il, si vous ne pouvez nous donner explicitement la valeur des exposants o, votre travail est dénué d'intérêt. J'en suis fâché, mais cette délermiualion explicite est impossible; on est obligé de se contenter de procédés d'approximation indéfinie et c'est ce que j'ai fait en définitive, dans le paragraphe \', en ramenant le problème à la détermination du groupe d'une équation linéaire, question que j'avais traitée, quoique d'unie façon incomplète, dans le Mémoire cité des Acla mathematica (t. i).
l'aiis, le -24 juillet 1887.
KXTHAIT
MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ i
Ar/a iiia/heniatica, t. 39, p, 58-1)3 (iÇ)23).
Dans la dornière livraison du Journal de Borchardt (-), M. Fuchs a publié un Mémoire dont le résumé se trouve, dans une lettre à M. Hermite insérée
(') Ce Mémoire a été publié pour la première fois par M. Miltag-Leftler dans le Tome 39 des Acta tnathematica. On sait que le Tome 38 du même Recueil a été consacré, par l'émineut matliémalicien suédois, à un exposé d'ensemble de l'OEuvre magistrale de H. Poincaré — sous ses multiples aspects ^ exposé dont nous avons déjà utilisé, dans ce Volume. 1' « Analyse des liavaux scienUfiques de H. Poincaré faite par lui-même ». Le Tome 39 groupe Karl Weierstrass, Ilrnri Poincaré et Sonja Kowalewsky dans un même sentiment de gratitude et comprend, avec une Conférence sur la vie de Weierstrass, une correspondance étendue de ces divers savants et le Mémoire inédit en question Nous saisissims celte occasion de rcnien ier puliliqnemenl M. Mittagl.effler pour l'impurtait service qu'il a ainsi rendu à la Science.
M. -N.-E. Nôrlund, qui présente le Mémcnre inédit de H. Poincaré, raccoiiipiignc de remarques auxquelles nous empruntons l'essentiel des lignes qui suivent :
L'.\cadémie des Sciences de Paris avait proposé pour sujet de concours, pour le Grand prix des Sciences mathématiques à décerner en i88n, la question suivante : « Perfectionner en quelque point important la théorie des équations dilTérentielles linéaires à une seule variable indépendante. )i
Le Mémoire n° 5 — dont H. Poincaré s'est déclaré l'auteur — se compose de deux parties distinctes. \/A première contient les recherches sur les intégrales irrégulières des équations dilîércntielles linéaires, développées dans deux Mémoires insérés respectivement, American Journal nf malliematics (t. 7, iH85, p. 2i]3--j,58), et Arta matheinatica (t. 8, i886, p. ac|5-3.')4j.
(Ces <leux .Mémoires i)récédenl, dans ce Volume des Œuvres, le Mémoire actuel.)
C'est la deuxième Partie, qui contient les réflexions inspirées à Poincaré par la lecture d'un Mémoire de L. Fuchs, que nous reproduisons inaintenant.
Le Mémoire de L. I''uclis a été reçu par II. Poincaré au début de mai eS8u et le Mi'iiioiie présenté au Concours est parvenu à l'Académie le i" juin i8So.
Nous avons ici la première ébauche des recherches de II. Poincaré sur l'intégration des équations dilTérenlicllcs linéaires à coeflicienls rationnels par l'emploi des transcendantes uniformes obtenues en regardant la varialde indépendante comme fonction du quotient de deux solutions d'une équation du second ordre. Le Tome II de ces Œuvres, tout entier, peut être regardé comme un développciiunt, exceptionnel par son étendue et sa profondeur, des remarques faites dans ce premier travail, (,I. !>,)
(-) T. 89, i88o, p. L^i-iUç,,
EXTR\IT d'un mémoire INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. 337
aux Comptes rendus (^). Ce Mémoire se rapporte aux équations du second ordre. Je supposerai que l'équation différentielle considérée est ramenée à la forme canonique
tlx"-
M. Fuchs démontre que, à certaines conditions^ si ]\x^ et o(a;) sont deux intégrales [linéairement distinctes] de l'équation proposée :
i" Si l'on pose
X est fonction méromorphe de r ; 2° Si l'on pose
/ f{-'>:)dx -^\r [ /(X|)(/.t-, = M,,
toute fonction rationnelle symétrique de x et de Xi est fonction méromorphe de «I et de Mj.
Ce dernier résultat lui permet de définir des fonctions analogues aux fonctions abéliennes ; mais je ne m'occuperai ici que du premier qui permet de définir des fonctions analogues aux fonctions doublement périodiques.
Pour que ce premier résultat soit vrai, les conditions de M. Fuchs ne sont pas nécessaires et suffisantes.
Il faut, pour que x soit fonction méromorphe, que pour tous les points singuliers, y compris le point o), la différence des racines de l'équation déterminante soit une partie aliquole de l'unité.
En effet, soit une valeur quelconque de z,
ne correspondant pas à un point singulier de l'équation proposée. On a
rl'où l'on lire x ordonne suivant les puissances de ; — a, à moins que les deux expressions
/(J7) — rt Ç(X),
(') T. 90, i8So, p. 678-680.
338 EXTRAIT DLN MKMOlllK INÉlllT l>E UENHI l'OlNCAHÉ.
ne s'anniilcul a la lois. I\lais comme nous avons supposé que la valnur ^ =: « correspondail à une valeur de x qui n'esl pas un point singulier de l'équation proposée, ces deux expressions ne pourraient s'annuler pour cette valeur de x, qu'à la condition que
liil identiquement nul, c'est-à-dire quey\^) et ts(:r) ne fussent pas linéairement indépendants, ce qui a été exclu.
Supposons maintenant que a corresponde à un point singulier x ^^ b situé à dislance finie : on a alors f\{x) et f-i{^) étant des fonctions de a;, holomorphes et $o pour x = 6; a, j3, y, S étant des constantes; p, et po étant les racines de l'équation déterminante,
ou si : partie réelle de p, > partie réelle de po
Pour ^ ^ a, on doit avoir a? = 6, c'est-à.dire que
p + Sa = o.
D'ailleurs on a
a-(- ya^o,
sans quoi l'on aurait
?-5' ce que nous n'avons pas supposé; on a donc
fi(x) a -(- YO -H Yl-ï — «) ou
— Sf-,(x)
J\{x)[a-h Ya-t- y(-:~«)J OU
i^('~a) , , Vi(-g)[«-H V«-t-r(g — a)] '
ou, pour s = a, ^ ^ 6,
or si X est fonction holomorphe de z pour s = a, on a
el par suite
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. Sîg
'"" n — "TT = -'
L( x — o) Il
pi — p2 = — ■ n
Donc il faut que la différence des racines de Vèquation déterminante soit une partie aliquote de r unité.
Réciproquement, si
il vient
¥{x,z\ = (a- — 6)/,"(a:)(a -f-T-)"+(— i/'"'/"(^)(? + o-3)" = o. et l'on en tirera .r en fonction holomor|ihe de :; ; car pour ; = a,
— =/,"(x)(a+Ya)"
n'est pas nulle.
Même raisonnement si, pour s = a, j: = oo.
Conséquence : Pour que x soit fonction méroniorphe de z, — toutes les fois que z prendra une valeur correspondant soit à une valeur finie de x qui ne soit pas lin point singulier, soit à une valeur finie de x qui soit un point singulier, soil à une valeur infinie de x — , il faut et il suffit que, pour tous les points singuliers, y compris le point ce, (p, — po) soil une partie aliquote de l'unité.
Ces conditions sont donc nécessaires pour que x soit fonction méroniorphe de z dans toute l'étendue du plan.
Sont-elles suffisantes? ¥\\es le seraient si l'on pouvait faire voir que l'on peut obtenir toutes les valeurs de z en faisant décrire à x un nombre fini de fois des contoursyî/;/.? sur la sphère. C'est ce que M. Fuchs semble avoir admis sans démonstration.
Si cela était, si x décrivant dans le plan un contour quelconque en ne franchissant chacune des coupures (qu'on j peut pratiquer entre les points singuliers) qu'un nombre fini de fois, z prenait toutes les valeurs possibles, alors la fonction x de z serait non seulement méroniorphe dans toute l'étendue du plan, mais dans toute V étendue de la sphère, et par conséquent rationnelle.
W s'ensuivrait que l'équation (i) admettrait une intégrale algébrique, ce qui arrive quelquefois mais ce (lui n'arrive pas toujours, M. Fuchs lui-même l'a démontré.
3io EXTRAIT n'UN MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARR.
Donc en décrivant un certain contour donné (enveloppant plus d'un point singulier) un nombre infini de fois, on arrivera pour :; à une certaine valeur singulière qu'on ne pourrait obtenir en décrivant des contours finis un nombre fini de fois.
S'il n'y a sur la sphère qu'une on deux de ces valeurs singulières de s, il n'y a pas de difficulté.
Soient, en efiet, a et ^ ces deux valeurs singulières; on posera
Alors z ne pourra être égal à a ou à Ti pour aucune valeur finie de l; donc pour toutes les valeurs finies de /, a" est fonction niéromorphe de :■ et par conséquent de t. Donc xest fonction monodrome de t dans toute l'étendue du plan et par conséquent dans toute l'étendue de la sphère. On est donc, pni- un changement de variables, ramené au cas où .r est niéromorphe dans toute l'étendue du plan; seulement, c'est de t et non de z que x est fonction niéromorphe; pour qu'il le fût également de z, il faudrait que x, considéré comme fonction de t, admît la période zn, ce qu'on ne peut prévoir a priori.
S'il y a sur la sphère plus de deux valeurs singulières, un pareil artifice n'est plus applicable. Quel que soit le changement de variable qu'on efi'ectue, il restera toujours au moins un point singulier à distance finie et, pour que x soit fonction monodrome dans toute l'étendue du plan, il faudra que x soit fonction monodrome dans le voisinage de ce point singulier. Or la démonstralion de M. Fuchs ne s'applique pas à de pareils points.
Cette objection ne se présente pas jiour les démonstrations analogues qu'on
rencontre dans la théorie des fonctions elliptiques ou abéliennes. Soit en effet,
par exemple,
dx
On démontre aisément que x est méromorphe en z pour toutes les valeurs de z que l'on peut obtenir en faisant décrire à a* un nombre fini de fois un contour fini sur la sphère. On peut en conclure que x est monodrome dans toute l'étendue du plan, et par conséquent dans toute l'étendue de la sphère; car, quand on fait décrire à x un contour quelconque un nombre infini de fois, z tend vers l'infini.
Rien de pareil n'a lieu dans la théorie des équations différentielles linéaires.
EXTRAIT n't'N MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCABÉ. 34l
Je crois avoir montré que la démonstration de M. Fiichs est insuffisante. Considérons cependant encore la question à un autre point de vue. L'équation différentielle peut toujours se mettre sous la forme
Q étant fonction de x.
En posant — ^ = /, on trouve (') entre les fonctions x,y, z-, t les équations difTérenlielles suivantes :
Pour que ,r soit fonction méromorphe de ;, il faut et il suffit que, toutes les fois que z est fini^ toutes les relations entre x eX z tirées de ces équations différentielles soient de la forme
x= fdnclion iiionodroiiie de .:,
ou
z = const.
Or X, y, t sont méromorphes en 3, sauf :
1° Quand Q = oo;
2" Quand X = co\
3° Quand y = 00;
4° Quand / = ce .
M. Fuchs n'a examine que les deux premières exceptions; il reste à examiner les deux autres. Soit donc y = co. Comment y peut-il devenir infini ? Supposons que x décrive une infinité de fois un certain contour C; que, quand X décrit une fois ce contour, il j ait deux intégrales/ et tp de l'équation (i) qui se changent respectivement en a/ et en [icp, et soit
Quand X décrira m fois le contour C, y se changera en
Xa'"/+ |jLp"'<p; mais d'après la forme particulière de l'équation (i), on peut supposer
[7 1 dv dv
A conclilioD de poser c = '—^, i)uis(|ue l'on peut prendre y -j-^ — y^ ;/ ~ '•
dx •' ' rfx
34s EXTRAIT n'UN MFMOinE INÉniT DE HENRI POINCAHÉ.
Donc, il moins que Ion n'ait iiiod a = i , on a
limite «le y ( pour m = oc) = 00.
Soil donc v^oc. Posons alors v= -> les équations differenlielles deviennent
dx dt\ (H dz
dont les intéurales, si Q<o, l^<x>, se réduisent à
ï) = o, 3" = const., z = const.
La relation entre x et s se réduisant ici à ; := const., il n'}' a pas de difficultés. Supposons donc Q = o, et posons
''t = ■ni -'> f = tiZ -,
il vient
dz d.c dfi'i dtx
THi^ -'Il — -ni'i — è^/i Q-^-^'l■nï
Il reste à démontrer que x reste holomorphe en z; quand on a
r,, = Q = o, ti>x,
et c'est ce que M. Fuchs n'a pas fait.
Il faudrait ensuite examiner les cas suivants :
t = co,
^.= Q=oc, y=2t = Q = cc, j = a- = a>,
y = t = X = ce.
Ces considérations montrent, je pense, l'insuffisance de la démonslralion de M. Fuchs et la nécessité d'une étude plus approfondie de la question.
Envisageons d'abord un exemple cité par M. Fuchs, à savoir l'équation (i) {Journal de Borcliardl, 7.' Heft, 89° Band, p. 168) :
' dx'' L ^{-^—ao'' i8(ar — a,) (a: — a»j 144 (x — a,)«J -^
Celle équation admet trois points singuliers :
ai, a-i el x.
f.a dill'érence des racines de l'équation fondamentale déltriinnante est :
|>oni a].
EXTRAIT d'un MÉMOIHE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. S43
Traçons sur la sphère représenlalive des x deux coupures, allanl l'une de eu à a,, l'autre de a^ à l'infini.
Soit, r = — — -. /(x) et 'f(x-) étant deux intégrales de l'équation (i), que l'on
aura toujours pu choisir de telle sorte que z se change en — s quand x tourne autour de l'infini, c'est-à-dire quand il décrit un contour fermé en franchissant la seconde coupure.
Quand x franchira la première coupure de façon à tourner autour de «,, s se changera en z', z' étant lié à 3 par une équation de la forme
Donc quand x tournera autour de «., de façon à franchir successivement les deux coupures, z se changera en z", où
Or les racines de l'équation déterminante relative à a» ayant pour diflerence ^, z doit être lié à z" par une équation de la forme
(3) ±=lJ = e-^^.
En identifiant les équations (2) et (3) on trouve, par des calculs algébriques
faciles, que a(3 est nul, d'où
a ou (3 = o;
soit par exemple
a = o, et ensuite S = o.
Posons alors
X sera une fonction de t qui ne changera pas quand on changera
t en — t,
t en p'-i-e"^(« — P').
t en Y'-t-^' (' — t'), où PP'=yy'=i; d'où l'on conclut que cette fonction ne change pas quand on change
t en <-l- pV— e ^ j -h YV-l-« ^ /
ou
KXTHAll D UN MEMOIRE INEDIT DE UENKI POINCAUE.
t en < + Y \i — c
De plus, en faisant un nombre infini de changemenls
(le t en — /,
ou
ou
de l en ^'-he ^ (< — [3'),
de < en y'+ e ' (Z — y'),
ou bien l'on fait tendre t vers l'infini, ou bien l'on lournc toujours dans un cycle formé d'un nombre fini de valeurs de t. Il en résulte qu'il n'y a qu'un
seul point singulier
Or X ne peut cesser d'être nionodrome en t que pour les valeurs de t qui correspondent à des points singuliers; x est donc monodrome pour toutes les valeurs finies de l; X est donc méromorphe dans tout le plan.
Par conséquent, x est une fonclion doublement périodique de t.
La ligure donnera une idée des propriétés de cette fonction. Les parallélogrammes des périodes sont
AiA.AsAf,, A2A3A0A7, AsAfiAioA,,,
Fig. I.
Ces parallélogrammes sont des losanges formés de deux triangles équilatéraux. On décompose chacun d'eux en deux triangles équilatéraux (égaux à la huitième
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. 345
punie de la surface du parallélogramme) que Ion couvre de hachures, el en un hexagone régulier qui reste blanc.
La fonction x ne change pas quand l tourne ;
i" De i8o° autour du sommet d'un des triangles couverts de hachures; 2° Ou bien de 120" autour du centre d'un de ces triangles; 3" Ou bien de 60" autour du centre d'un des hexagones réguliers restés en blanc.
Quand on connaît x en fonction de <, l'équation (i) s'intègre aisément; on a
en efTet pour intégrales :
. /dx , /a
\/-dr y-c
(dx
dt '
Or si X est une fonction doublement périodique de f, x sera lié à -j- par une
('([uation algébrique. L'une des inlégralcs sera donc algébrique en x. Si, en ell'i't, on forme l'équation (i), on trouve
dx-
dont les intégrales sont évidemment
y\ = {x -«,)-'(x — «2)'et
y,= (x — ai)-' (x — a^)'- I (x — Cl,) J (x — a,) '■ dx. On a donc
^-^ = 1=1 {X — ri,) ■' (.T — a,) » dx,
d'où l'on tire effectivement^ en fonction doublement périodique de /.
Remarque. — L'équation (i) n'admet donc qu'une intégrale algébrique et en admet une: elle fait partie, en effet, d'une classe très nombreuse d'équations différentielles qui ont une intégrale algébrique et une seule.
Soit
' dx"^ ~^ y^{x — (tif ^{x — ai)(x — ai,)\'
Cette équation admettra une intégrale algébrique pourvu que l'on ait
H. P. - I. kk
340 KXrnAlT d'un MKMOinR INKIMT DR HENRI POINC.ARÉ.
La seconde intégrale se trouve par une simple quadrature (').
L'exemple (|iii précède fait voir que, dans certains cas, le théorème de M. Fuchs est exact, et que x est fonclion (loiiblemenl périodique de z.
Cherchons comment cela peut avoir lieu; proposons-nous de tromper dans (juel cas X est une fonction de z susceptible d'être ramenée aux fondions doublement périodiques.
Cherchons, ce qui revient au même, dans quel cas x est une fonction de ;; telle qu'il n'y ait, sur la sphère représentative des ;, que itn ou que deux points singuliers.
Supposons que le théorème de M. Fuchs soit vrai, c'est-à-dire que x soit fonction monodrome de :\ ce sera une fonction de s qui se reproduira quand on changera .: en i' , où
, <is -^ b
(et cela pour une infinité de systèmes de valeurs de a, b, a', b').
Or la relation (5 ) entre :: et ;' peut toujours se mettre sous la forme
ou sous la forme
Premier cas.
Supposons que x ne change pas quand on change ; en ;'u, ou en :'^, ou en ij, . . .; et que toutes les quantités s',,, s',, z'^, ... soient liées à z par des relations qui peuvent se mettre sous la forme (6) et de telle façon que
(') Si l'on pose a, = -±i/y 4- .^,, ces comlitions sohl suffisantes (elles ne sont nécessaires
que dans le cas de trois points singuliers) pour que j^, = n(j? — a,)*' satisfasse à léquaiion. Il faut donc en outre, pour que celte intégrale soit algébrique, après avoir fixé le signe des radicaux,
—- donne alors Xi
yx • J y'
EXTRAIT d'un MÉMOinE INKIIIT DE HKNRI POINCARÉ. 34?
h étanl coniinensuiable. Dans ce cas, le nombre des quantités z'^, z',, z!,, . . . sera forcément limité et x sera une fonction rationnelle de 3. L'équation (i) sera intégrable algébriquement.
Deuxième cas.
Supposons que x ne change pas quand on change ; en ;', où
l- 1= (raodX^ij.
Posons
X sera une fonction monodrome de / qui ne changera pas quand on changera l en ).r
Il y aura alors deux points singuliers :
Il ne pourrait y en avoir davantage sans qu'il y en eût une infinité, car les points < = o et < = oc sont les seuls qui se reproduisent quand on change l en Kt. Quand x tourne autour d'un des points singuliers de l'équation (i), t se change en f', où
lin
n étant entier. Si l'on veut qu'il n'y ait qu'un nombre fini de points singuliers, il faut que la substitution (8) reproduise le système des points
Or cela peut arriver de deux manières :
1° Si la substitution (8) reproduit le point / = o, et reproduit également le point / = 00.
Pour cela, il faut que la substitution (8) s'écrive
2° Si la substitution (8) change le point / = o en < = oo, et le point / = oo en t = o.
tt'-
318 EXTRAIT n'ilN MÉMOlHn: 1NÉ1>1T DE HENRI POINCABÉ.
Un pareil échange ne peut avoir lieu que si la subslilulion (8) change t cnt'
et l' en t, c'est-à-dire si •
Si, dans l'équation (8), on fait il vient d'où
ou enfin
Pour qu'on n'ait qu'un nombre fini de points singuliers il faut donc que, quand X tourne autour d'un des points singuliers de l'équation (i), t se change soit en
ii-a
te , soit en —
Nous aurons donc une fonction monodronie de t qui ne changera pas quand
on changera
t eu ht,
ou l en
ou / en
Kl K, K;,
1 1 • 1- Ivi K| K|
et par conséquent quand on multipliera t par yr-i jt-j t^ > ou encore par
e'" , m étant le plus petit commun multiple de n,, n-2, • • • , "a-
Posons maintenant
X sera une fonction monodronie de ii qui ne changera pas quand on changera
Il en Î/-1-L/., ou a en u-\ > ou a en i< + LK, — LK.jOu en m-|-LKi — LK3. ...,
ou en u-\- LK, — LK^,.
Cette fonction admet donc un certain nombre de périodes; il faut que ces périodes soient compatibles, c'est-à-dire qu'on puisse trouver des quantités commensurables
EXTRAIT d'un MEMOIRE INEDIT UE HENRI l'OINCARÉ. 349
telles que
a,LX + LK,— LK», «sLX -+- LK, — LK:;, ..., a^ Là -t- LK,— LK^
soient comniensiirables avec li-r:.
On peut toujours supposer
car on a pris pour A V une quelconque des quantités par lesquelles on peut multiplier t sans altérer x. Il faut alors que l'on puisse trouver des quantités commensurables «3, . . ., ap telles que
soient commensurables avec 211:. Donc :
Condition l. — r Les logarithmes des modules rr^j^-' ■ • doivent être
Ki Kl
commensurables entre eux.
Condition II. — 2° Les quantités
L mod î^ Kl
doivent être commensurables avec 2iT:.
Si ces conditions sont remplies, x sera une fonction doublement périodique de u.
Continuons cette discussion et tout d'abord remarquons qu'il ne peut jamais arriver que, lorsque x tourne autour d'un point singulier a de l'équation (1), / se change en
te " ,
comme il semblait au premier abord que cela pourrait se faire.
En effet, si cela était pour a? = a, < serait égal à zéro ou à l'infini, c'est-à-dire irait en un point singulier, ce qui est absurde.
Toutes les fois que x tournera autour d'un point singulier de l'équation (i),
, Kl K, K
t se changera en — ) ou --" ) • • • > ou — ^
Donc, pour tous les points singuliers de l'équation (1), la différence des
racines de l'équation déterminante- fondamentale est égale à -•
350 EXTRAIT l)'UN MÉMOIllK INKDIT IIK HENRI l'OINCAIli:.
Problème. — Une fonction doublement périodique peut -elle donner naissance ainsi à une équation différentielle linéaire du second ordre?
Soient /( t'i k les doux périodes de x considéré comme fonction doublement périodique de u ; nous écrirons
A = o [ lund ( /(, A)]
quand on aura .
A = mh -f- nk,
m et n étant dos entiers réels.
On devra avoir
LK, — LKo=LK, — LK3 = ...= LK,-LK^ = o [inod(/i, A)]. 117!=^ o [mod (II, k)].
Pour une même valeur de x, u pourra prendre une infinité de valeurs; soit u, l'une de ces valeurs; les autres devront satisfaire à l'une des con^ruences
«^U], u ^ LK, — i<i, a ^ LKj — iit, ..., u^LKp — Ut [mod(h, k)],
c'est-à-dire à l'une des deux congruences
M s ai, « ^i LK| — u, [ mod ( /(, A")], car on a évidemment
LK, — H| ^ LK2 — Miis...^I,K^ — M, \mod(h, k)].
Il n'y a, dans le parallélogramme des périodes, (jue deux valeurs satisfaisant à ces congruences. Donc x est une fonction doublement périodique de u à deux infinis; nous supposerons que cos infinis sont — a et -f-a, c'osl-à-dire que
LK,= o;
nous pouvons toujours le faire, car si cela n'était pas on n'aurait qu'à multiplier t par un facteur convenable.
Nous poserons alors
on a
-j- = o du
toutes les fois que
ou
u^ [mod (A, A) j.
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARR. 35l
Toutes les fois que ;j- <o, n se développe suivant les puissances croissantes de {x — a) si x est fini, ou de - si x est infini. Supposons au contraire m = o, et soil
Quand x tourne autour du point a, u se change en — u et u est égal à zéro pour a: = a ; enfin on a
où Aj^o; d'où l'on déduit
où Bo^o.
Soil de même •
on aura
"- ^' = A-Y[B'^-HB';(:r-Y)-(-B;;(a"-Y)2 + ...], - /i -H A-
u-'J-!iJi = y,'x- 0 [b;';-+-B7(x- 8) + b:(j,--s)^ -+-...],
où
Soient maintenant
A une même valeur de x correspondent uni,' infinité de valeurs de u; soit «„ l'une d'entre elles; les autres seront
Mo -H Wi/i H- nk, — Mj-t- m h -H /i/. ,
où ni et /i sont entiers. On aura
A ( Mo -+- "t /( -t- nk) = A ( «0 )j A (— Mo -^- "' /< -t- « A- j = A ( «0 ),
d'où l'on tire, par differentiation,
A'(Mo-Hni/n-nA) = M{u„), A'( — «o-t- mh-ir nk) = A'(mo)-
