m 1 .1. . . n a"'.ca''z

Remarquons que .x et z sont nuls; le premier membre de chaque équation

se réduira à -; -j— (m+;A); la seconde équation deviendra 1=:^-^,

-r- pouvant d'ailleurs prendre une valeur quelconque.

r,. ,, r . , d"'+"V fif . . ■ , 1 • •

51 1 on tait passer le terme -, p— -^ dans le premier membre, celui-ci

«^ d"'xd''z dy <: '

devient -J-; — ■—— [m -'r {n — i) A], et le second ne contient plus que des termes

en — — -^) où a ■< w, (3 <^ «. On peut donc calculer successivement chacune des dérivées partielles de y.

1° ,^^ •'^ est égal à une somme de produits ayant pour facteurs : i° un coefficient positif ; 2" diverses dérivées partielles de/; 3° un produit de termes de la forme tt-j où a =: o, i , 2, . . ., m, ^ ^ — 1,0, i, 2, . . . , n — t.

En effet, on voit facilement que, si cela est vrai pour toutes les valeurs

ae -j- — TT ' où a<m, 3£«, sauf pour -— — j--, en remplaçant dans l'équation d^x dfiz , I ; j d"'3: d"z ' ' ^

qui donne cette dérivée toutes les dérivées connues par leurs valeurs, on obtiendra une expression de même forme.

2" Le facteur . ne peut entrer dans aucun des produits à une puissance

. tn supérieure a — ■

En effet, nous avons vu que le second membre de ces équations se réduit à

" \d^xd'?zj dlxd^y'

où P représente un produit de plusieurs facteurs de même forme.

Si l'on différentie cette expression par rapport à x, on obtiendra différents termes. Dans chacun d'eux, ou bien l'un des a sera augmenté d'une unité, ou bien y sera augmenté d'une unité, ou bien 0 augmentera d'une unité, et l'on

XL Sln LES PKOPUIKTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

multipliera par -j- • Si l'on diflerenlie par rapport à ;, aucun des a ne variera.

Donc l'expression y + ïa augmentera d'une unité quand on différentiera par rapport à x, ne changera pas dans les différenliutions par rapport à z. Donc

Supposons que la puissance à laquelle entre le facteur soit plus petite

que - pour toutes les valeurs de a plus petites que w, et remplaçons ces déri-

vées connues par leurs valeurs dans l'expression de -; r— > comme nous

' i- d"'xd"z

lavons dit plus haut. Le terme r- sera à une puissance plus petite que —

et, a fortiori, plus petite que — c. q. f. d.

Voyons maintenant dans quels cas la série est convergente, et, pour cela, remarquons que chaque terme de la série est formé d'une somme de produits. Considérons chacun de ces produits comme formant un terme de la série, et démontrons que le tableau des modules de la série ainsi constituée est convergent.

Premier cas. — Soit l'équation

^ ^, = ao + po.r +

où a„ et p„ sont choisis de telle sorte que, pour x ^y = o, le second membre

s annule et que A = -r- = -> P étant un nombre entier. ^ dy p '^

Les dérivées partielles du second membre sont Ictules positives. Il en est de même des termes r^j où a est nul ou positif et S > — i .

Donc tous les termes de la série sont positifs. Si donc on démontre que les termes arranges d'une certaine manière forment une série convergente, il en sera de même du tableau des modules des termes de la série.

Or, comme ),= -, en posant x = :P, on a une équation de même forme,

où ). = I et où, par conséquent, comme l'ont fait voir MM. Briot et Bouquet, y est développable en série convergente suivant les puissances de ;, c'est-à-dire

àexP.

SLR LES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. \LI

Donc, dans ce cas, la série est toujours convergente, car elle l'est lorsqu'on range les termes de façon que rii -+- nX aille toujours en croissant.

Deuxième cas. — Supposons le cas général; seulement la partie réelle Je X est positive,

On peut toujours choisir ).' :— — de façon que la partie réelle de X soit plus grande que À'.

Considérons maintenant une équation de la forme examinée dans le cas précédent, où X soit égal à la valeur de X', que nous venons de choisir, où M est le plus grand module que puisse acquérir/ quand le module de x reste plus petit que R et celui de j- plus petit que R'. La série relative à cette seconde équation aura son tableau des modules convergent.

Pour passer de cette série à celle qui est relative à l'équation donnée, il suffit de multiplier chiujiie terme :

1° Par le rapport des dérivées partielles de/ à celles du second membre de la seconde équation, rapport toujours plus petit que i, puisque chaque dérivée

INI

de /est plus petite que la dérivée correspondante de ■ — -;

a" Par le rapport ^.,„,^.„x-:

T„ T» 1 pi'oduit des a-(- B).' , ... ,

6 Par le rapport - — r—- — i Rv > on nous ne considérons, pour le moment,

rr produit des a +3a '•

que les termes où 3 est positif. La partie réelle de a + pX' est plus petite que

celle de a + pX par hypothèse; de plus, x -\-^V est réel; donc

mod.a + pX'< mod.ï ■+- [IX.

Donc le rapport considéré est plus petit que i.

, ,. , produit des a — • X'

A" Par le rapport - — ^-^ — 3 r- •

^ ^'^ produit des a — X

D'abord, comme x — X' est réel et que sa partie réelle est plus grande que celle de a — X, on peut toujours prendre a assez grand pour que le module

de ^ soit plus grand que i .

Par conséquent, le rapport considéré peut être représenté, à moins que X ne H. P. - I. /

\L11 <IU l.KS PUOI'RIÉTKS DBS FONCTIONS DEFINIES PAH LES ÉOl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES.

soit un nomlire entier positif, par

m ni

'' 2ÏÏ ^ • • • '

en faisant varier y. depuis i jusqu'à oo, 8 ne pouvant devenir plus grand qu'une certaine quantité K, pourvu que je démontre que le produit infini en question est convergent.

Considérons sa racine «('""", '

,X' ra — X')'^

son logarithme sera la série

Multiplions le terme général par </.- ; il vient

dont la limite, pour a ^oo, est

Le''— Le'- ou X'— X,

qui est fini. Donc la série est convergente, soil jjl sa valeur. La valeur du produit qui multiplie 9'" est e"'l^.

Donc, pour passer de la série dont nous avons démontré la convergence en étudiant le premier cas à la série que nous avons à examiner maintenant, il suffit de multiplier par un terme qui est toujours plus petit que

K"'c"'lJ- ( -7 ~r^,

Oi' un peut toujours prendre le module de — assez petit pour que le module deKe!'^<i.

Soient jc= pe'?, x'= p'e'?';

a;-X / oX giipX ■

SLR LES PROPRIÉTÉS DES FON'CTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XLUI

Soient A = a + i'^, p = e''; il vient

doni le module est o^e~?Po'"''.

Or on peut toujours, si at est positif, prendre p assez petit (quel que soit a) pour que ce module soit plus petit que i. Tous les termes de la première série sont donc multipliés par un facteur plus |)etit que i ; la série reste donc convergente.

Donc :

Toute fonction définie par une équation différentielle de la forme

où ~ = ), et où X a sa partie réelle positive et n'est pas entier positif, est

développable dans les environs de a; = o, suivant les puissances croissantes de X et de x^.

Limites de convergence. — Les deux conditions

Keli— , <i, p*e-?3p'->'< I

montrent que la région de convergence est limitée à la fois par un cercle et par une spirale logarithmique; on voit en même temps que la série peut être convergente pour une des valeurs que x^' peut prendre pour une même valeur de or, sans l'être en même temps pour d'autres valeurs de x'^. Lorsqu'on franchit la spirale logarithmique en allant vers l'origine, le nombre des valeurs de x^ pour lesquelles la convergence a lieu s'augmente d'une unité.

Du paramètre arbitraire. — Le paramètre arbitraire est ici la valeur

de -^ que nous avons pu prendre quelconque. Remarquons que tous les termes

de la série sont des polynômes entiers par rapport à ce paramètre, d'où il résulte que la fonction }' peut être ordonnée suivant les puissances croissantes de X, de x^ et de ce paramètre.

Equations d'ordre supérieur. — Cette démonstration s'étendrait sans difficulté au cas des équations d'ordre supérieur. En effet, 'ces équations peuvent,

XLIV Sl'll LES PnOPRlETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

dans les cas où 3 cl ^ ne sont pas fonctions liolomorphes de x", s'écrire sous l'une des formes

où 9 et 'i ne contiennent ni terme constant ni termes du premier degré en x, y, ;, ou

Dans le premier cas, si À et [a ne sont ni entiers positifs ni à partie réelle négative, y et s sont liolomorphes en r, x^-, xV-. En effet, reprenons la démonstration précédente, il suffira de remplacer )- par ijl dans un certain nombre de facteurs des produits en m + n\.

La discussion précédente s'appliquera évidemment sans y rien changer.

Cas où ).==!.

Nous avons laissé de côté, dans le résultat que nous venons d'obtenir, deux cas :

1° Celui où la partie réelle de X est négative; or, dans ce cas, MM. Briot et Bouquet ont démontré qu'il n'existait pas de fonction définie par l'équation et s'annulant pour x = o ( ' ) ;

2" Celui où A est entier positif; ce dernier se ramène facilement à celuioù A^ 1 par une transformation très simple, due aussi à MM. Briot et Bouquet. Nous nous réduirons donc à l'étude du cas où X = i.

Soient

/ N dy j., df

Considérons l'équation auxiliaire

Toutes les dérivées partielles du second membre de l'équation (2) sont les

(') On sait que ceci suppose certaines reslriction.s sur la maaicre dont jk tend vers zéro ; uoj'r aux Noies. (J. D.)

SUR LES PROPRlÉrÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XLV

mêmes que pour l'équation (i), sauf la dérivée première par rapport à y. De plus, pour l'équation (2), nous avons vu que jk était développable suivant les puissances croissantes de x et x'-, que le coefficient de chaque terme était une somme de monômes, et que le tableau des modules des termes formés par chacun de ces monômes était convergent.

Soit

l'un de ces monômes; soit, pour simplifier, ), réel. La série des monômes

(4) mod.A(mod..t-)'"(mod.x)''''

Posons

Nous pouvons développer l'expression (3) suivant la formule du binôme; on obtient une suite de termes de la forme