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Remplaçons un instant, dans la série, x' par 3, qui sera indépendant de x; la série est alors convergente quand x e.X. z prennent des valeurs d'un module inférieur à certaines limites 0 et pi. Supposons t çX x positifs et tels que ces conditions soient remplies; la série (4) aura son tableau des modules convergent; il en sera de même de la série
K mod.A,r"'+/'f''-/',
puisque les termes de cette seconde série sont positifs et que, groupés d'une certaine manière, ils reproduisent la série (4)- H en sera de même encore de la série (5), dont les termes ont même module que ceux de la série précédente, et il en sera de même encore quand on remplacera t ç,\. x par des quantités imaginaires de même module.
Les limites de convergence sont données par les inégalités
mod. J- < p, mod..r -I- mod .(x^ — x) < p|.
Un terme quelconque a la forme
K 7- ^ x"'-^Pt"-n,
Vyni + nk)
XLVl SIR LES PROPRIETES DES ('ONCTIONS DKl-lNIKS PAU LES EQUATIONS DIKFERENTIELLES.
OÙ A csl un jKilviKMiie entier par rapport au paramètre arbitraire -r-j que nous représenterons par y..
Les facteurs de la forme ^^ r- ne peuvent entrer à une puissance supé-
. , • "i /■,••- 1 • ( '»+ P ) rieure a la puissance -r- ou, a Joi-tioii, a la puissance g
Considérons la série obtenue directement
Égalons au second membre de l'équation (2), il vient
d'où, par diflérentiations successives et remarquant qu'à l'origine
dy^if__^/^^\^Jy^
dx dt dx \ dy j dx
^f^^{.^'l\^Ly.,
11 est facile de voir qu'en déduisant de ces équations les valeurs des dérivées nartielles de y, on les obtient sous la forme de somme de monômes 7 '■ — :- ;
I •^ ' ^ad l {fH-\-nf.)
nue l'un fiuelconnue de ces monômes, multiplié par x'^+p t"^~P, par ■
T 1 1 '11 II \. •/.... (ni -\-p)
Ql par \ , est la somme d'un certain nombre de termes de la série que
nous venons de considérer.
Donc la série S ; ^ : p.„ ' „:,, x'"^'' '" p a son
^U 1.2... ( m -h p) i .7.. . . { n — p) l {m -h rt A)
tableau des modules convergent.
De pluï il est facile de voir que les deux équations écrites en premier lieu
donnent toujours
aH — ^ = X, -y- demeuraiil arbitraire, dy dt
dt
dy
dx
SUR LES PROPBIETES DES FONCTIONS DEFIMES PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. XLVII
et si l'on prend
on aura
Donc, comine le facteur r- ne peut s'introduire dans l'un des monômes que
s'il contient à une certaine puissance -r-i si l'un de ces monômes contient le
■^ dx
facteur ^i le numérateur A, contiendra à la même puissance le facteur «-|--i^-
I — /. ^ dx
Revenons maintenant à l'équation (i) et cherchons de même les coefficients de la série. Rien ne sera changé dans le calcul précédent, sinon que À devra être remplacé par i .
Des deux équations écrites en premier lieu, la' première donne
<^ = iV, dt dx
et la seconde
dt dy dt
est vérifiée identiquement. C'est donc -^ qui deviendra le paramètre arbitraire,
puisqu'on peut lui donner une valeur arbitraire p.
Rien ne sera changé dans la série, sinon que chaquet erme sera multiplié par
i3'?(l — X)? P{ ni -I- /!À) j-''-«'s
il)
'—dJ-J
OÙ /• ^ /« 4- p, s ^ n — p.
Or nous savons que, si l'on suppose À < i , la seconde fraction est toujours plus petite que K'', K étant une quantité finie.
Comme q •< /•, il en sera de même du premier facteur.
On peut donc toujours prendre les modules décret de t assez petits pour que le module de l'expression (j) soit plus petit que i.
Donc la nouvelle série est convergente.
Toute fonction définie par une équation différentielle de la forme
XLVIII SIR LKS PnOPRIKTKS DES FONCTIONS DEFIMES PAU LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
OÙ — ^ I, est déve/oppable suii'a/il les puissances croissantes de x et d'une dy ' '
variable t définie par x -p = t — ./', ou de xhx, dans le voisinage de x^o, r = o.
Les limites de convergence sont données par
mod.^<p. mocl.(j:-L3:) < p,.
Le paramètre arbitraire est-^j et la fonclion )• peut encore se développer suivant les puissances croissantes de x, de t et de ce paramètre.
(THÈSES présentées à la FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS, pour obtenir le grade de Docteur es Sciences Mathématiques, soutenues le i" août 1879 devant la Commission d'examen : MM. Bouquet, Président; O. Bonnet, Darbolx, Examinateurs.)
