INTRODUCTION

Le problème de l'inlégration des équations aux différences partielles a été abordé dès le siècle dernier par les géomètres; mais ce n'est qu'au commencement de ce siècle que Cauchy et Jacobi sont parvenus à ramener complètement l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à celle des équations différentielles ordinaires.

Toutefois la question n'était point épuisée, car ce dernier problème, l'intégration des équations aux différentielles ordinaires, était loin d'être résolu. L'existence même de l'intégrale n'était pas démontrée d'une manière rigoureuse.

Cauchy aborde ce nouveau problème, et, dans le Tome XIV des Comptes rendus des séances de ^ Académie des Sciences (p. io20-io23), il imagine pour le résoudre un nouveau mode de calcul qu'il appelle calcul des limites., et il démontre que les équations différentielles ordinaires admettent une intégrale; il définit complètement cette intégrale, ou plutôt un élément de cette intégrale, en montrant qu'elle peut se représenter en général par une série H. l\ - I. ..

1. PKOPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIKS PAR I.F.S ÉQUATIONS At\ DIFFERENCES l'ARTlELLKS.

ordonnée suivant les puissances croissantes de la varlahle el convergente dans de certaines limites. C'est donc une intégration complète, mais qui ne nous fait pas connaître la valeur que prend la fonction cherchée quand on donne à celle variable une valeur quelconque, mais seulement quand le module de celle variable reste plus petit qu'une quantité donnée.

Dans le Tome W^ des Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, il applique les procédés du calcul des limites, d'abord aux équations linéaires aux dilFérences partielles du premier ordre (p. 44-38), puis à un système quelconque d'équations aux différences partielles d'ordre quelconque (p. 85-ioi). Il recherche quelle est l'intégrale de ces équations qui est assujettie à se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables indépendantes, et il démontre que cette intégrale peut encore, en général, se représenter par une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.

Enfin, dans le Tome XVI (p. 5^2), 11 recherche comment on devrait aborder le problème quand l'intégrale particulière que l'on étudie est assujettie à d'autres conditions qu'à celle de se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fondions données des autres variables.

Dans le cas le plus général, le problème qui nous occupe a donc élé complètement résolu par Cauchj.

Il a élé depuis repris par deux géomètres. Dans une Thèse inaugurale, insérée dans le Tome 80 du Journal de Crelle (p. i el suivantes), M"" de Kowalewski a démontré de nouveau des théorèmes déjà trouvés par Cauchy; enfin M. Darboux en a inséré une démonstration nouvelle dans le Tome LXXX des Com.ptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (p. loi). Toutefois, ilexisle encore des cas où le théorème de Cauchy ne peut pas s'appliquer cl où l'intégrale, soil d'une équation dlfferenlielle ordinaire, soil d'une équation au.v différences parlicUcs, ne peut se représenter par une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.

Pour les équations différentielles ordinaires, ces cas excepliounels ont élé étudiés par MM. Briot cl Bouquet, dans un McTiioirr inlilidé Mémoire sur les fonctions définies par les équations différentielles el inséré dans le Tome WXVI du Journal de V Ecole Polyterlmique.

Mon but, dans ce travail, est d'étudier de même, pour les équations aux différences partielles du premier ordre, les cas exceptionnels où le théorème de Cauchy ne s'applique plus.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS ALX DIFFÉRENCES PARTIELLES. Ll

Ces cas sont de deux sortes : ou bien la difficulté provient, non de la forme même de l'équation proposée, mais de la manière dont est définie l'intégrale particulière que l'on étudie; ou bien elle est due à la forme de réquation proposée. De là la division naturelle de ce travail en deux Parties. La première est destinée à l'étude des exceptions de la première sorte et nous amènera à reconnaître que l'on peut obtenir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro certaines fonctions des variables, de l'intégrale et de ses dérivées du premier ordre, et que ces fonctions peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ces quantités.

Dans la deuxième Partie, on étudie la seconde sorte de singularités; mais je n'ai pu arriver à des résultats que quand certains coefficients satisfont à certaines conditions de signe, et j'ai été obligé de laisser de côté les cas où ces conditions ne sont pas remplies.

Avant d'aborder le problème qui est l'objet principal de ce Mémoire, j'ai dû étudier, dans des lemmes préliminaires, quelques propriétés générales des fonctions, et, en particulier, rechercher ce qui se passe quand on ne peut plus appliquer les théorèmes de MM. Briotet Bouquet, relatifs aux fonctions définies par des équations dont le second membre est zéro, et le premier membre une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables et des fonctions cherchées.