LEMMES PRÉLIMINAIRES

On sait qu'une fonction z de n variables x,, x^, .... .r„ (ou plutôt un élément de cette fonction) est dite holomorplic en .r, — a,, x^ — a^. ..., Xn — «« quand on peut la représenter dans une certaine étendue par une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ — a,, X2 — v-i, ..., x,i — «„ (a, , a.2, . . , , a„ étant des constantes données).

Pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que la fonction ; reste finie, continue et monodrome quand les modules de x^ — a,, x-i — aj, ..., x„ — c/.„ restent plus petits que certaines quantités données.

Théorème de MM. Briot et Bouquet.

MM. Briot et Bouquet ont démontré que, si p fonctions Z\, Z2, •.., Zp de n i^ariables j-,, Xn, ■•■, x,, sont définies par p équations dont le second

I.ll PROPRIÉTÉS 1>ES FONCTIONS llKKINIkS PAR LKS ÉQl'ATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

membre est zéro et les premiers membres sont p fonctions liolomorphes en Zx — (3i, -S» — (3;, ..., Zp^ ^p, x^ — a,, Tn — «j, ..., J"„ — a.,, (les c. et /es p étant des constantes), si ces p équations sont satisfaites quand on Jait

si pour le même systè/ue de valeurs le déterminant fonctionnel des premiers membres des /> équations par rapport aux p fonctions z n^est pas nul, les p fonctions z ainsi définies sont holomor plies en .r, — «i, .r^ — «a, •••, x„ — a„. Je ferai dans la suite un fréquent usage de ce théorème, et je m'en servirai en particulier pour démontrer les lemmes qui vont suivre.

Définition. — Nous dirons qu'une fonction z de n variables J7f, x^, . . . , Xn est algébroïde de degré m en ^i — a, , Xo — a^, . . . , x„ — «„ quand elle satisfera à une équation de la forme

(;- PJ'«-+-A,„ .,(G-P)"'-'-t-...+ A,(3 — P) + A„=o,

où A,„|, ..., A,, Ao sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de Xf — -y.!, Xi — a., ..., x,i — a,,, qui restent convergentes quand les modules de jt, — a,, X2 — »;>, •■•, x,i — a,, restent plus petits que certaines quantités données et qui s'annulent quand

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que

a, = aj = . . . = a„ = p = o.

Nous pouvons toujours le faire, car si cela n'était pas, on ferait

a?i = 7i-t-ai, X2 = jK2-l-a2 ^n — yn-^'^-n, 3 = 3i-H|3,

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas où les a et (3 sont nuls.

Lemme I. — Si une fonction zest algébroïde de degré m en x^, X2, •■■, Xn, et que Von y remplace x,, x^, . . . , Xn par des fonctions holomorphes en t s'' annulant quand t = o, la fonction z est développable en une série convergente dans une certaine étendue et ordonnée suivant les puissances crois-

santés de f, p étant un nombre entier tel que

En efTet, reprenons l'équation

i"'4- A„,ii"'-'-t-. . .+ A,; -f- Au= o.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINrES PAR LES ÉQUATIONS AIX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LUI

Remplaçons dans cette équation par certaines fonctions

holomorphes en t et s'annulant avec cette variable. Les A deviendront des

(onctions holomorphes en / et s'annuleront pour t = o, puisqu'ils s'annulent

pour

La fonction :; devient ainsi une fonction de / susceptible de m valeurs. Quand on fera varier / de telle manière que le point qui représente sa valeur imaginaire sur un plan décrive un contour autour du point < = o, il y aura p de

ces m valeurs qui se permuteront circulairement comme les p valeurs de f. 11 est évident que, si l'on donne à ; une de ces p valeurs comme valeur initiale et

qu'on fasse décrire à t un chemin tel que ti' revienne à sa valeur primitive, ;; reviendra aussi à sa valeur initiale. De plu^, z conserve une valeur finie quand le module de l reste inférieur à une limite donnée, et, étant une fonction con-

tinue de t, est aussi une fonction continue de ti'.

Donc :; est holomorphe en f, et il est d'ailleurs évident que

Dans les deux lemmes qui vont suivre, on considérera une fonction 2 de n variables x,^ x^, . . . , x^ définie par une équation

dont le premier membre a(-;) est une série

Ao-H A|5-+- A5-2( . .

ordonnée suivant les puissances croissantes de :; et dont les coefficients Ao, A| , ... sont des fonctions holomorphes en x^, x^, ■ • ■ , x„. On supposera que, quand on fait dans les A

J^\ = ^2 ^ . . • ^^ -^ Il ~— ' O,

on ait

Ao= Ai= A, = .. .= A,„-,= o (A,„;îo).

Lemme il — // existe m fonctions z qui satisfont à la définition précédente et qui tendent vers zéro quand ar,, .To, . . . , Xn tendent vers zéro.

LIV PROPRIETES DES FONCTIONS DKFINIF.S PAR LES F-QUATIONS AUX DIFFERENCES PABTIEU-ES.

En effet, soit •Jo(-^) ce que devient tp(;) quand on j l'ait

Si l'on représente les parties réelle et imaginaire de ; par les coordonnées d'un poinl dans un plan, on pourra toujours tracer dans ce plan un cercle Cxiyanl pour centre le point ; = o et dont le rajon R soit assez petit pour que tpo(^) ne s'annule pas à l'intérieur de ce cercle, si ce n'est pour z = <>. Ceci posé, il est évident que, si l'on prend l'intégrale

le long d'un cercle quelconque Ci, concentrique à C et de rayon R, ' R, cette intégrale sera égale à 2 iizm.

Soit maintenant (ft{z) ce que devient ^{z) quand on donne à x^, x^, ■■■, x,, certaines valeurs déterminées différentes de zéro. On peut toujours prendre les modules de ces valeurs déterminées assez petits pour que :

1° ■^i{z) diffère aussi peu qu'on veut de tp„(s); 2° es', (3) diffère aussi peu qu'on veut de tp ',,(;) ;

30 j-îi — L diffère aussi peu ou on veut de ^-^, — :

4° Enfin pour que / ' ' " dz prise le long du cercle C, diffère aussi peu qu'on veut de / ,1 dz prise le long du même cercle, c'est-à-dire, puisque

cette intégrale est toujours égale à 1 i- multiplié par un nombre entier, pour qu'elle soit égale à 2 inm.

Donc on peut toujours prendre les modules de x^, .r,,, . .., Xn assez petits pour que «((s) s'annule m fois dans l'intérieur du cercle C,, quelque petit que soit le rayon de ce cercle.

Donc il existe ru fonctions ;,, 3.,, ..., ;,„ de j;,, x-,., ..., Xn qui aunuleul la fonction '-2(3) et qui tendent vers zéro rpiand j?,, x-,, ... x„ tendent vers zéro.

Lemme III. — Les ru fonctions Zt, z-j. ..., Zm sont algébroïdes de degré m En effet, les ni fonctions ;,, z-^. . . . , :„, sont définies par les m équations

(1) »(«,) = o, ll>(i,) = 0, ..., 'i(3,„; = 0.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. LV

Je vais d'abord remplacer le système (i) par un autre système équivalent. A cet effet, je poserai

f(v) = (t.a,)(p — zj). ..(p — j„,),

Je poserai en outre

i = l 'V' fi'^i) fpi'^if

11 est clair que le système (2) B,= o, Bî=o, ..., B„, = o

est équivalent au système ( i).

Les B sont symétriques par rapport à ;,, z-.. ..., ::,„. De plus, ce sont des l'ouctions entières par rapport à ces varialilcs. Eu effet, les dcuomiuateurs Ji{:-i) ne contiennent que des facteurs de la forme ;, — z/^ et ne contiennenl ces facteurs qu'à la première puissance. Donc les B seront égaux aux qiiolients de fonctions liolomorphes en Zf, z.2, ■ ■■ , z,,,, j;,, x-^, . .. , .r,, par le produit de tous les facteurs tels cjue zi — Zf,-- J'aurai donc démontré que les B sont eux-mêmes des fonctions holomorphes eu ;,, :.,, ..., ;„,, .r,, x-,-, •.-, -?« si je fais voir (ju'en les multipliant par zt — Zk et faisant :,= z^ on les annule. Or cela est évident, car, les B étant symétriques par rapport à .:, et à Zk. B(.:,— Zh) change de signe quand on change =, en Zk et ;* en ;,. Donc il s'annule quand zi= Zk- Donc les B sont holomorphes en ,r,, arn, •.., -f», en s,, io, ••■, ^m et symétriques par rapport à ces //( dernières variables.

I.VI PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES.

Posons

Ces I» iioiivi'llcs variables saiimileronl en même temps que les ;.

De plus, <m sail que tout polynôme entier symétrique pai- rapport aux ; et de degré p est un polynôme entier en

S,, Sj, .... Sp, s'tpim, et on

Si, S.,, ..., S,,,, si pi m.

Donc les B seront des fonctions holomorphes en S), S^, ..., S„,, x,, ,r>, , • • * , Xfi*

Les S sont donc définis en fonction des x par m équations dont le second mernhre est zéro et les premiers membres sont des fonctions holomorphes eu S,, S i, ..., S,„, X,, X.2, ..., x„ qui s'annulent quand

01=05=...= o,,i=:.27i= Xi ^ . . . ^ 3"rt = O.

Donc, en vertu du théorème de M^I. Briot et Bouquet, les S seront holomorphes en X,, x-^-i ..., x„ si le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S ne s'annule pas quand

Sj =82=... S,„ = Xi = 5:2 = . . . = a^n = o.

Il faut donc calculer le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S pour ce système de valeurs, et pour cela calculer, toujours pour les mêmes valeurs des variables, les dérivées partielles

1 " Si /. '-; /« — /> + 1 ,

d\ip

En effet, si dans »(-) on fait

= Xi = . . .— 3

3(5) devient

De même on a, quand les x s'annulent,

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LVII

Le premier lermc est homogène et de degré m — [> + ^ P'T' rapport aux ;., le second homogène et de degré m — /> + 2, etc.

Donc, si l'on exprime maintenant les B en fonction des S, le premier terme de Bp dans le développement (3) donnera un terme en S,„p+i et des termes formés par le produit de deux ou plusieurs des S* tels que A" <; «< — p+ i. mais il ne donnera pas de terme en Sa(A < /» — />+') et indépendant des autres S. Les termes suivants du développement (3) n'en donneront pas davantage pour les mêmes raisons.

Donc B^, développé en fonction dos S, ne contiendra pas de termes en Sa.

Donc

rfB„

Donc le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S se réduit, au signe près, au produit des

dj/n—p+l

Il suffit donc, pour faire voir que le déterminant nest pas nul, de montrer qu'aucune de ces dérivées partielles ne s'annule.

Pour calculer -j^ — - — > reportons-nous au développement (3) et cherchons

UJm—p-i-l

d'où peut provenir, dans le développement de Bp en fonction des S, un terme en Sm-p+\- il ne peut venir que du premier terme du développement (3), que nous appellerons pour abréger T^,, car les termes suivants de (3) sont homogènes par rapport aux 2 et de degré supérieur à m — p -\- i . Il suffit donc de s'occuper des termes provenant de T^; on a

G étant une fonction de S|, Sj, ..., S,„p qui s'annule avec ces variables, et c'est ctp qu'il s'agit de calculer. Comme cxp est une constante indépendante des z, il suffira de calculer sa valeur en donnant aux : des valeurs quelconques, par exemple les racines de l'équation

z'" — zP-^ — I = o.

Tous les Si sont nuls, et S„,p^i ^ m — p-\-i . Donc

Tp= ap{ni — p -+■ 1).

Or, on a

l.vm PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

cette inlégrale clanl prise le loiij; d'un cercle de rayon suffisamment grand. En elTeU le résidu de la l'unelidn sous le signe / par rapport à la racine c = ;/ est

La somme des r('sidus de celle t'onclioa est donc la somme de ces quantités, c'esl-à-dire ^- Or, dans le cas parliculier où nous nous sommes placés,

/^(e) = 0;;,v"'-/'. où Cf„= m(m— !)...( m— /J-+-I).

Donc

dv.

La première inlégrale est nulle; en ce qui concerne la seconde, la fonction sous le signe / est développable (puisque le rayon du cercle le long duquel on prend l'intégrale est très grand) en série ordonnée suivant les puissances croissantes de - et dont le premier terme est -• Ce premier terme donnera un<- intégrale 2/-, les autres une intégrale nulle. Donc

Donc les Xp ne sont pas nuls; donc le déterminant fonctionnel des B par rapport atiN S ne l'est pas non plus; donc les S sont des fonctions liolomorphes en X I , x-j , . . . , ./■« .

Les m valeurs de z, à savoir z,, z.,, . . . , -,„, satisfont à une équation

où les A' sont des polynômes entiers et symétriques j)ar rapporta

ces polynômes sont donc aussi des polynômes entiers par rapport a S , , S j , . . . , S

et par conséquent des fonctions holomorphes en a;,, Xj, . . . , ./„.

C'est dire que les m valeurs de ^ sont algébroïdes de degré m en .r,,

La démonstration précédente suppose que Téquation

PKOPRIÉTÉS DES PONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AIX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LIX

n a pas de racines multiples; mais il est facile de l'étendre à ce cas d'exception.

Soient encore, en effet,

/(") = (t- — il)(f' — ■!2)...(V— -m)

. , -3m représentent pour un instant des quantités quelconques, et

soit encore

f{v) e\.fp{i') sont des polynômes entiers par rapport ù i' et aux S. Soit maintenant

f'rMAi!^

dv,

cette intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon assez petit pour que !p(f) soit convergent pour certaines valeurs des x^ et assez grand pour contenir les m racines de l'équation

pour ces mêmes valeurs des x.

Supposons, de plus, qu'on ne donne à z,, z-^, ..., z,„ ((ue des valeurs dont les points représentatifs soient compris à liiitérieur de ce cercle.

Cela est toujours possible.

Cette intégrale est une fonction continue des S et des x, et l'on a vu que dans le cas où tous les .; sont différents, c est-à-dire où les S ne prennent pas certains systèmes particuliers de valeurs, cette intégrale se réduit à une fonction holomorphe des S et des .r. 11 en est donc encore de même dans le cas où les ; cessent d'être tous différents.

Pour exprimer que les :; se réduisent aux m racines tic l'équation

en tenant compte de leur degré de multiplicité, il faut encore écrire (jue les By, sont nuls, c'est-à-dire qu'il faut égaler à zéro les mêmes fonctions holoniorpiies des S et des x que dans le cas où il n'y a que des racines simples, c'est-à-dire que la démonstration précédente s'applique.

Corollaire I. — Si o est une fonction algébroïde en z, x,, x-,, ..., x„

I,X PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

telle, qu'une de ses valeurs s'annule quand on a à la fois

mais qu'aucune de ses valeurs ne s'annule, quel que soit z, quand on a

à la fois

si : est défini en fonction des x par V équation

; est une fonction oli;ébroïde en .r,, x,, . . . , Xn-

En efl'el, la foiiclion -j étant algébroïde en ;, x,, x.>, . . . , x„ est donnée par

une équation

œ"'-l- A^^itp"'-' -I-. . .+ Aitp + Ao= o,

OÙ les A sont holomorphes en z, x, , x-^i ■ ■ ■ , x,,- L'équation o ^ o est donc équivalente à l'équation

Ao=o.

Mais Aq est une fonction holoinorphe en z, x,, . . . , x^ qui s'annule quand toutes ces variables s'annulent, puisque » s'annule dans ce cas, mais qui ne s'annule pas, quel que soit ,:, quand tous les x s'annulent, puisque rs ne s'annule pas dans ce cas.

Donc Aq contient un ou plusieurs termes contenant une puissance de z et indépendants des x.

Si ;:'" est celui de ces termes dont le degré est le moins élevé, on retombe sur le cas étudié dans le lemme précédent, et z est une fonction algébroïde de degré m en a:), Xn, . . . , Xn- c. q. f. d.

Corollaire II. — Si, dans une fonction hnlomorphe ¥ en x^, x^, . . . , x„, on substitue à la place de ces variables n fonctions cp,, tso, ..., mn de p variables nouvelles y ^ ,}'■,, ■■., fp, algébroïdes par rapport à y^, y^, ..., yp et s'annulant avec ces variables, la fonction F devient une fonction algébroïde eny,,yi, ■.■,yp.

En effet, les fonctions o,, cp.j, . . . , cp„ sont respectivement susceptibles de m,, mj, ..., m^ valeurs différentes. En substituant dans F un système quelconque de ces valeurs, on donne à cette fonction

7ni/n2...m„= M valeurs différentes.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. L\I

Soient F|, F2, . . . , F„ ces valeurs. Les fonctions

sont holomorphes par rapport aux différentes valeurs de y,, o-,, ..., cp„. De plus, elles sont symétriques par rapport aux différentes valeurs de tp,, aux différentes valeurs de Oo. etc.

Donc, en appelant Sip la somme des ^'*""=' puissances des diverses valeurs de 9,, S^p la somme des ^i*""* puissances des diverses valeurs de œo, les fonc-

tionsy Ff sont holomorphes par rapport aux S, c'est-à-dire (puisque les S sont

1 = 1 holomorphes par rapport aux j-) holomorphes par rapport aux )-. C'est dire <jue

la fonction F elle-même est algébroïde en y,, y-,, . . . , y p. c. q. r. d.

Lemme IV. — • Si (f,, cp2. ..., fp sont p fondions holomorphes en Zj^, Z2, ..., :p, X,, x-,, .-., Xn, si ces fonctions s'annulent quand on annule tous les : et tous les x, si les équations

restent distinctes quand on annule tous les x, si l'on définit les z en fonction des X par les équations

'fl = ?!=••■=?/>= O,

les p fonctions ainsi définies sont algébroïdes.

En effet, supposons p = 2 pour fixer les idées, z^ et z^ sont alors définis par les équations

9, et 92 ne peuvent s'annuler identiquement tous deux quand on fait

car alors les équations

Ti = 92= o

cesseraient d'être distinctes quand on annulerait tous les x et se réduiraient toutes deux à

Zt = o.

lAII PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UKFIMKS PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

Supposons que ce soit o, qui ne s'annule pas identiquement quand

on pourra ^Leniiiic III cl Corollaire 1) tirer de

;, en fonction algébroïde de z-^, x^, x-i, . . . , x„.

Substituons cette valeur de ;, dans Uoj cette fonction deviendra algébroide en ;--2, Xf, x^., .. . , Xn {voir Lemme 111, Corollaire II). L'équation

a donc un premier membre algébroïde en ;n, x,, x.j, ..., x„ et qui s'annule avec ces variables. De plus, cp^ ne s'annule pas, quel que soil -■., quand .r,, X-,. . . . 1 x„ s'annulent. Ce serait dire cpic les équations

0| = O, ti; = O

cessent d'être distinctes quand les x sont nuls. Donc Zn est défini par l'équation oj ^ o en fonction algébroïde de x, , x-,, .... x,i. Il en est de même de ;i , puisque rien ne le distingue de ;.j.

Le lemme est donc démontré.

Remarque. — On remarquera que dans le lemme précédent on est obligé de faire une resiriclion, puisque l'on siqipose que les équations

<Pl = <PS = - • •= fH= O

restent dislincles qiiiiud les x s'annulent.

Les deux lemnies qui vont suivre ont pour but d'examiner ce qui se passe quand celte condition de restriction n'est pas satisfaite.

Lemme V. — .Vf ii/n' J'onclion z est de finie en fonction de x,, .r^,, . . . , x,,

par une équation

dont le premier membre est une fonction holoniorphe en z, r,. .r.j, ..., Xn. s'annulanl avec ces variables^ on peut exprimer s, .r,, x,, . . ., x„ par des fonctions algébroïdes de n variables auxiliaires \i.,, [a^j, ..., ^^ s'annulanl avec ces variables.

En effet, toutes les dérivées partielles de cp ne sont pas nulles, sans quoi cette fonction serait identiquement nulle. Supposons que toutes les dérivées par-

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES BOUATIONS Al'X DIFFERENCES PARTIELLES. LMII

tielles d'ordre m ne soient pas nulles, mais que toutes les dérivées d'ordre inférieur à m le soient.

Si parmi ces dérivées tl oidre m qui ne s annulent pas se trouve -i—fr,-' par

exemple, on pourra exprimer j-, en fonction aloébroïde de ;, x-i, x^, ..., x„.

et alors il suflira <le poser

pour satisfaire à l'énoncé du lemme.

Si l'on a, au contraire,

dz"> ~ dxf "^ ■• -^ rfi™ ~ on posera

- = X.ji +X,7.j -I-... — X„7„ + X„+,^„H,,

^n= an.l7l-'- ««.272 + - ■■+««, n+l7''^

On pourra toii|oiirs choisit' les X et les y. de telle sorte que leur déterminant ne soit pas nul et qu'après la substitution

On aura alors yn^.i en fonction algébro'ide de y, , y.,. . . . , y„,

7«+i =fiyuyi 7"),

et il suffira encore de poser

1 = 1 iP«=^an,iFi+ ^n-.l/

Jour satisfaire à l'énoncé du lemme.

LXIV PROPRIÉTKS DES FONCTIONS llÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

Reniaraue. — 11 faut rcinar(|uer que celle nouvelle manière de définir la ronitioii r ne nous en lail connaître qu'un élénient plus restreint que ceux que les lemmes 111 cl 1\ nous pernieltaient d'étudier. Des fonctions algébroïdes définies iiar ces leninics nous connaissions un élément limité par ces conditions que les modules de:r,, 3'-. ..., x„ restent respectivement plus petits que certaines quantités données.

Les éléments définis par le lemme V seront restreints encore par d'autres conditions, par exemple que, les modules des x restant plus petits que certaines

(luantilés données, les modules de — . — . ••■> — soient eux-mêmes plus petits 1 ' j-i j-, .Ci ' *^

que certaines quantités données.

Lemme VI. — Si p fondions Zi, z-,^ ..., Zp de n variables x^, x-., ..., Xn sont définies par p èquatioiis

dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes en 5,, So, ..., Zp, j'i, X.., . . . , .r„ et s'annulanl avec ces variables^ les fonctions ^1,-2, . . . , Zp et les variables anciennes x,, x,, . ■ -t x„ peuvent s'exprimer par des fonctions algébroïdes de n nouvelles variables convenablement choisies [^1, <j..,, . . . , 'x,, et qui s'annulent avec ces nouvelles variables.

En eU'el, supposons ys = 2, pour fixer les idées; Zt et z-y sont alors définis par les équations

En vertu du lemme V, on peut tirer de cp, = o les :; et les x en fonctions algébroïdes par rapport à « -f- i nouvelles variables que nous appellerons v,, vj, ..., v„^, et s'annulant avec ces variables. Substituons ces valeurs dans tp^; cette fonction deviendra une fonction algébroïde dev,, v.j, ..., v„+, (Lemme 111, Corollaire II).

On a donc

ç'," -V- A,„-, cpf-' -1-. . . + A, Ç2-H Ao = o,

où les A sont holomorphes en v,, v., . . . , v„, v„+,. Donc, égaler o.j à zéro, c'est égaler Ao à zéro.

Or, en vertu du lemme V, on peut tirer de

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS Al\ DIFFERENCES PARTIELLES. LXV

V,, V;;, ..., '/n+i en fonctions algébroïdes de n variables nouvelles p.,, y.,, ..., p.n et s'annulanl avec ces variables.

Donc, les z et les x étant des fonctions algébroïdes des v, qui sont des fonctions algébroïdes des pi, sont des fonctions algébroïdes des a. De plus, z et les Xf s'annulant quand on annule les v, qui eux-mêmes s'annulent quand les [/ sont égaux à zéro, se réduisent à zéro quand on fait

[Jli = ilo = • ■ • = [J^n = !>• c. 0- F. D.

Remarque . — La remarque relative au lemme V s'applique également au lemme VI.

Généralités.

Nous nous proposons d'étudier les propriétés d'une fonction ; de n variables j?i, x^ /■„ qui est liée à ses dérivées partielles du premier ordre,

que nous appellerons

dz dz dz

dxi ' dx-> ofj'n

par une relation de la forme

Y{Z, a-,, T., ..., Xn,pi, Pu •••, Pn) = O.

Nous supposerons, pour simplifier, que F est un polynôme entier par rapport à :;, aux p et aux x, et nous poserons, conformément à l'usage,

az aXi api

Nous nous bornerons, comme l'a fuit Cauclij, à étudier un élément de la fonction ^, c'est-à-dire la série des valeurs que prend cette fonction quand on donne à .T), Xn^ . . . , Xn des séries de valeurs telles que, si

sont des constantes imaginaires données,

Pi, p., ..., K

des constantes réelles et positives, les modules de x, — %f, x^ — a.,, ..., Xn — s<„ restent plus petits respectivement que p), ^2» • • ■ , ?«■ On pourra toujours supposer que

LX\I rROPRIKTKS DBS FONCTIONS nÉKINlES PAR LES ÉQUATIONS AUX UIFFERENCES l'AIlTlELLES.

car, si cela iiV-lail pas, on poserail

X, =^-i-f-a,, Xj = 72-t-a., .!-„ =^'„ -+- «„,

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas où les a sont nuls.

De même on supposera toujours que la valeur que prend la fonction z quand les X s'annulent est zéro, car, si cola n'était pas, si par exemple ; prenait alors une valeur finie (3, on poserait

si z prenait une valeur infinie, on poserait

et de toute façon on serait amené au cas où ; s'annule avec les x.

11 pourrait arriver qu'on soit obligé d'étudier un élément de fonction plus rcsUeint encore, comme on a vu que cela avait lieu, par exemple, dans les cas où s'applique le lemme V (voir la Remarque).

L'élude que nous nous proposons de faire de l'équation

F = o comprend la résolution de trois problèmes.

l'HOBLÉME I.

Rechercher quelles sont les intégrales z de l'équation F=:o qui sont holomorphes en x,, Xj, . . . , Xn-

PHOBLÈME II.

Intégrer les équations différentielles

ds dcx dx2 dxn — dp\ — - dp„

•^(Pi^i P, P; ■' P« X, -+-/>, Z ■ \„H-y,„Z •

1° Sous la forme

fô) ?I = K,, 92= K;, .... Ç,„= K.,„,

où les K sont des constantes arbitraires, les tp des fonctions connues de z, des X et des j) ; 2* Sous la forme

oii les 'j^ sont des fondions connues de x^et de 2n constantes arbitraires.

PROPRIKTKS DES FONCTIOXS DEFINIES PAR LES EQUATIONS \V\ DIFFERENCES PARTIELLES. I.XVII