PROBLÈME III
Recherclier quelle est l' intégrale
qui satisfait à V équation ¥ ^=o et qui se réduit identiquement à une fonction holomorphe donnée en x,, X'<, . . ., jr„
^(X,, Xo, x„)
quand une autre fonction holomorphe donnée en x,, x.j, . . ., x„
0(>,, aro, ..., x„) est égale à zéro.
Le problème peut encore s'énoncer d'une nuire manière. En effet, les deux équations
nous permellent, en vertu du lemme VI, d'exprimer z, x,, x^, . ■ ., x„ en fonctions algébroïdes de /; — i variables auxiliaires a,, uj, ..., a„,, ces fonctions s'annulant avec C(,'s nouvelles variables, soil
-= = Pi(f^). 'M, ■■■■, I-'K-i),
Le problème III s'énonce alors :
TrouK'er une intégrale de V équation V = o qui se réduise identiquement à (3, quand on y remplace respectivement x,, a?^, . . ., x„ par 9,, 9^,, . . . , 0,,.
Cauchy et Jacobi sont arrivés à peu prés en même temps à ramener la résolution du problème III à celle du problème 11. Rappelons en quelques mots les résultats auxquels sont arrivés ces deux grands géomètres.
Équations linéaires.
Supposons que l'équation F ^ o soil de la forme
I.XVm PIlOfUIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.
OÙ \,, X^., ..., X.„, Z sont des fonctions connues de x,, x.^, ..., x„, z. Les équations différentielles (4), (\m portent le nom (ï équations des caractérisliqties, prennent ;ilors la forme
dXi dxt dXn dz A, Xj An ^
Supposons que le problème II soit résolu, c'est-à-dire que l'on ait les intégrales des équations (4) sous la double forme
(5) ?i=K,, t?>=Kj tpn=K„,
(6) X, = i{/,, j:5=4'.2. ..., Xn, = 'i„-, ^ = '!'«;
on trouvera l'intégrale que l'on se propose de chercher dans le problème III, en substituant respectivement, dans tp, , (fn, •■i 9n, Pu 9, , 9-.., . . . , 9„ à la place de z, X,, Xo, ..., Xn, ce qui doiiiieraà ces fonctions cp la forme
et, en substituant ensuite respectivement, dans à,, <];.), . . . , 'L„, •■,, y.,, . . . , y„ à la place de K,, K.j, . . . , K„, on aura ainsi l'expression de z, x,. x-2, ■ ■ -, -fn-i en fonction de x„ et des [x. Ce sera l'expression implicite de l'intégrale cherchée, et ensuite, quand cela sera possible, on éliminera les [jl entre les équations qui constituent cette expression et l'on résoudra par rapport à l'intégrale pour en avoir l'expression explicite.
Équations non linéaires.
Gauchj a fait voir d'abord, en ce qui concerne les équations non linéaires, que, si l'intégrale cherchée existe :
I " Les dérivées partielles du premier ordre p,, p.,, . . . , p,, doivent se réduire identiquement, quand on y remplace respectivement x,, x.,, ..., Xn par 9,. 62, . . ., b„, à certaines fonctions u,, oj^,, . . . , w,, faciles à déterminer.
2" Si les équations
dz dxt dx^ — dpt — dpn ont été intégrées sous la double forme
(5) <pi= Kj If2n= Kon,
(6) iri= 4/,, ..., />„ = ij/s,,
PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LXIX
nous obtiendrons l'expression implicite de celle intégrale de la manière suivante.
Dans <pi, 92) • • •, 92/1 remplaçons respectivement
■^1 P\i P-2t ...) fn^ ^1, ^2: •■•» ^n
par
Pi, (1),, W.2, ..., a)„, 8,, 6.2, ..., 0„;
ces fonctions cp deviendront des fonctions des [ji, que nous appellerons
yi, y-2, ■■■, 72"-
Dans A,, 'i2, • . -, '}2n) remplaçons respectivement
K,, Kj, .... K2,,, par
ri, y-., .-•. 72«,
nous aurons Xt, X2, .... ar„,, .:, p, , p.^, . . . , yj„ en fonction de Xn et des |ji., et ce sera l'expression implicite de l'intégrale cherchée, si celte intégrale existe. Enfin, Cauchj a fait voir que, pour que la fonction ^ ainsi définie représente réellement une intégrale de l'équation F = o, il faut et il suffit que les fonctions
dz dxi dx« dXn-\
d^i ^'d^i '^'dui ■■■ ^"-' d^i
soient identiquement nulles.
Remarque I. — On peut toujours supposer que w,, lo.,, . . ., to„ sont algébroïdes en i;l,, ijio, . . ., [/,,! .
En eflet, les fonctions W), lOj, . . . , w,, sont définies par
F (Pi, 6|, 62, 6/i> Ml, '^■2, • . -, t^«) = o
et par n — i équations telles que
d&t df)^ rfBs rf9„
a^j-i a[ji, a[j., a|jL,-
Si ces II équations permettent d'exprimer les w en fonctions algébroïdes des ij., il n'y a pas de difficulté.
Si au contraire cela n'a pas lieu, on pourra toujours, en vertu du lemme VI, tirer de ces n équations
Kl, l^î, •••, P«-l, *^l, l«J, •■•, ^n,
l.XX PROPRIKTÉS DES FONCTIONS DÉFINIKS PAR LES ÉQUATIONS Al\ DIFFliBENCKS PARTIELLES.
en fonctions algcbroïdes de /( — i nouvelles \ariubles
On fera jouer alor> à ces variables nouvelles le rôle ([Lie joiiaiciU a,, <j..^, ..., jJi«i, et il esl facile de voir que ^i, les 0 et les w s'expriment en fonctions algébroïdes de V|. v, v„|.
liemarque II. — La remarque (jui précède ne s'applique pas aux cas où w,, (.)j, . . . , lOn ne gardent pas des valeurs finies quand on annule les jj..
Remarque III. — Parmi l(;s intégrales des écpialions des caraclérlsllques mises smis la forme
(5t (j>| = K|, !f2= K,, ..., <p,„=Kj„,
il y en a une, Oi,, par exemple, tpii n'est autre que le premier membre F de l'équation F^o. Donc, quand on prendra les intégrales des équations (4) sous la seconde forme
on pourra remplacer |jailoul, ilans ■!>,, 'L^,, .... 'Lj,,, Ko,; par zéro.
Propriétés des fonctions J.
On a vu que la métbode de Caiu:liy pour Finlégralion des équatictns aux différences partielles était soumise à une restriction.
La fonction à laquelle elle conduit ne représente l'intégrale chercliée que si certaines fonctions J,, J.,, . . ., J„i sont identiquement nulles.
Or Cauclij a démontré :
i" Que ces fonctions sont nulles quand on y rempbu'c x„ par
(|„l |A,, ;ij, . . ., \Xn'-,i;
2* Qu'elles satisfont à l'équation c'est-à-dire que, J„ étant la valeur de J quand .r„ =: 0„,
PROPRIETES DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFKRENCES PARTIELLES. LXXl
Supposons ijue l'on ail donné aux jj. des valeurs quelconques, par exemple
|i, = (ij = . ..= ^x„, =o;
l'intégrale sera prise depuis la valeur do x„, qui correspond à .r„ = 9„, c'està-dire depuis zéro, jusqu'à une valeur quelconque de cette varialjle. Si Pre^o, il est évident (jue l'intégrale
conserve une valeur finie et déterminée, et, par conséquent, puisque
.lo = o,
que J est identiquement nul.
Si P„ =^ o, mais que IV par exemple ne soil pas nul, on fera jouer à .r, le rôle qu'on avait fait jouer à x^ c'est-à-dire ([ue, au lieu de résoudre les équations
(5) ca, = K,, . . ., 92/,= K;„ en fonction de x,i pour les amener à la forme
(6) x,='!fi, x:, = <\iî, ..., x„-i=<]/n-i,
on
les résoudra en fonction de Xi] l'intégrale / dx,i p- sera remplacée par l'intégrale / dxi-^1 qui conservera une valeur (inic, et les fonctions de J seront
encore nulles.
Si
mais que
on résoudra les équations (ô) en fonction de yo,-, cl à la place de l'intégrale / dxn -75- on rencontrera l'intégrale / dpi -^ '- — -, dont la valeur est aussi
finie.
Dans ce cas encore, les fonctions i sont identiquement nulles.
On n'a donc à se préoccuper de la condition de restriction relative aux fonctions J que dans les cas où l'on a à la fois
P,= P, = ...= p„=o, \i+PiZ=\i-\-p.,'L =...= X„ + /)„Z = o.
LXXII PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES liQUATIONS AIX DIFFERENCES PARTIELLES.
