Intégrer les équations (4) sous la forme

Gela revient ù chercher in inlégrales distinctes de l'équation linéaire

Or un au moins des coefficients de celte équation, P, par exemple, est diflérenl de zéro.

Cherchons donc in intégrales de l'équation (j) assujetties à se réduire respectivement, quand ar, ^ o, à

/, (a-,, Xi, .... Xn, Z. p,. p^, /'„),

fi (a-,, j-j, x„, z. Pu Pi, ..., p„),

Ani^l, ^3, ■ ■ ., 37,,, -S, pi, Pi, . .., p„).

1° Où y,, /.,, . . ., /.,„ sont des fonctions holomorphes en x^, x^, . . ., x„, -i/'i —ynP-2 — r-2, ■ ■ ., pn—r,,;

2" Où/.j„ n'est autre chose que ce que devient le premier membre de F = o quand on j fait a?i = o ;

3° Où le déterminant fonctionnel des/' par rapport à

Xi, Xi, .... X„, Z, /),, pi, ..., p„

ne s'annule pas quand ces variables se réduisent respectivement à

o, o, ..., o, o, Xi, j,, ..., y,,.

On peut toujours faire toutes ces suppositions.

Or, en vertu du théorème de M"'° de Kowalevvski, les m intégrales ainsi définies sont holomorphes en

Xi, X2, ..., X„, Z, p\—yu Pï—.rt, ..., Pn—fn

et, d'ailleurs, la dernière se réduit à F. H. P. — I.

LWIV l'ROPniKTÉS nKS FONCTIONS nKFIMRS PAU LES 6QlIATI0^'S AIX 111FFÉREN0F.S PARTIKLLES .

Ues inlégrales cherchées du système (4) sont donc

f 1 = K,, 9; = Kj, . . . , »,„, = Kan-i, F = Kon,

où ç)|, Oo, ..., Q>n-\ sont holiimorplies en X), x-,, ■■■• oc„, :•, pt — y,, ...,

Pn — Vn-

11. Soil maintenant à amener les intégrales du système (4) sous la forme (6 ).

Cela revient à résoudre le système (5) par rapport à toutes les \arial)les qui V entrent en l'onelion de l'une d'elles, en fonction de Xi par exemple.

Or le déterminant fonctionnel des cp par rapport à x-2, . . ., x„, z, p,, . . ., /)„ n'est autre chose, pour les valeurs initiales, que le déterminant fonctionnel des/ par rapport aux mêmes variables, qui n'est pas nul, par hypothèse.

Donc le théorème do MM. Briot et Bouquet s'applique, et l'on peut exprimei' x>i a"3, . . . , x„, z, p\ , p>, . . . , /'« en fonctions holomorphes de x, et des K :

(G) i = 'ii, Xi='\t, ..,, x,t=<h,„ /'i = 'l'«+i, ••.,

PROBLÈME m.

PItEiVIIKIt CAS.

TnÉORÈME 1. — Dans le cas où

ne s'annule pa's pour les valeurs initiales des variables, r intégrale z est lioloniorphe.

En effet, faisons un changement de variables en posant

Puisque