VA

toutes les valeurs initi;des des - — ne sont jias nulles; soit, par rxemple.

On pourra résoudre alors l'équation (8) par rapport à x,, et l'on aura

-i'i = G(^, Xi, . . ., x„), G étant holomorphe.

l'HOPHIÉTÉS fiES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AIX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LXXV

Soient f]i, f/j, . . . . q,i les iluiivelles dérivées partielles de : par rapport à

on aura

M Soient Q,, Q,, . . ., Q„ les dérivées de F par rapport à 7,, q.. . . . , «y,, : on

aura

L'intégrale cherchée est donc assujettie à se réduire à une fonction

P[G(7, 3-,, .,., a-„), jTj, ...,xn],

qui est holoniorphe en y, x-^, . • • , .r„ quand

^■ = 0, et d'ailleurs

Donc le théorème de M""' de Kowalewski s'applique, et : est holoniorphe en y, ar., . . ., Xn et par conséquent aussi en x,, X-,, . . ., jr„.

Inlerprctation géométrique. — Sup{)osons que l'on n'ait que deux variables indépendantes x ely\ l'intégrale

peut alors être considérée comme représentant une surface S.

11 est facile, dans ce cas, de trouver une interprétation géomélrique de la condition (9).

L'équation F = o signifie qu'au point

c'est-à-dire à l'origine, le plan tangent P à la surface S est langent à un cône donné C.

Dire que l'intégrale ; est assujettie à se réduire à (3 quand on a 9 = o, c'est dire que S est assujetti à passer par une courbe donnée A qui passe elle-même

I.XXVI PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR I.ICS EQUATIONS AUX DIPFERENCES PARTIELLES.

par rorigine, el par conséqueiilque le plan P passe par la tangente à l'origine T ;\ la courbe A.

On obtiendra tlonc le plan V en menant par T un plan tangent à C. On pourra en général en mener plusieurs, c'est-à-rliie que par la eourbe A on pourra faire passer plusieurs surfaces S.

Considérons une de ces surfaces. Dire que ji, j'j, . . . , J« sont finis, c'est dire que le plan P correspondant n'est pas parallèle à l'axe des z. Dire que

c'est dire que T n'est pas sur le cône C.

A ces conditions, la surface S est représentable par une équation où z est égalé à une fonction holomorplie de x et de y.

DKUXIÈME CAS.

j,. y-,, ...,}'„ restent Unis, mais la condition (y) n'est pas remplie. Géométriquement, c'est dire que le plan P ne passe pas par l'axe des ;;, mais que T est sur le cône C.

Supposons d'abord (|ue l'équation F = o est linéaire.

Théorème 11. — Dans ce cas, l'intégrale z peut s'exprimer en égalant à zéro une fonction <1> holomorphe par rapport à z et aux x, el sUinnnlant avec ces variables^ pourvu que, si

ifi = Kl, . . ., (p„= K„

représentent les intégrales du système (4), et si w,, 90, . . ., -j,, s'annulent avec z et les x, z — (3 e< 0 ne s'annulent pas identiquement à la J'ois quand tous les 9 sont nuls.

En ert'et, si une pareille expression de l'intégrale existe, elle pourra s'écrire

(10; 'l'(tfi, ?î, . . ., œ,,) = o;

9,, 9-2, . . ., 9„ étant des fondions qui, étant égalées à des constantes, représentent les intégrales du système (4), sont, comme on l'a vu (résolution du Problème 11), holomorphes par rapport à ; et aux x et s'annulent avec ces variables.

De plus, <I> devra être identiquement nui (juaud on aura à la fois

PROPIIIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LXXVII

Faisons un changement de variables en prenant pour variables nouvelles a^^i, 9i,02, ..., £p„; nous aurons

les 'i étant holomorphes par rapport à a^i et aux cp et s'annulant avec ces variables. ( Voir la résolution du Problème II.) Les équations (i i) deviennent alors

B et C étant holomorphes par rapport à x, et aux cp et s'annulant avec ces variables.

On trouverait lintégrale (lo) en éliminant Xi entre ces deux équations.

Or B et G ne peuvent être identiquement nuls, quel que soit x,, quand les m s'annulent, sans quoi on aurait identiquement

z — ^ = o, () = o quand

ce qui est contraire aux hypothèses faites en commençant.

On pourra donc tirer (Lemme III) de C = o, par exemple, x, en fonction algébroïde des 9; si l'on substitue cette valeur de a;, dans B, cette dernière fonction devient algébroïde par rapport aux cp, c'est-à-dire qu'elle est liée aux cp par une équation de la forme

B"'-f- A,„-,B"' '— . . .-(- AiB -H Ao= o,

où les A sont holomorphes par rapport aux <p.

L'équation B ^= o est alors équivalente à A^ := o, et le premier membre de cette équation, qui n'est autre que l'intégrale (10) cherchée, est holomorphe par rapport aux 9.

Donc, si l'on remplace les 9 par leurs valeurs, A„ devient une fonction <P holomorphe en 2, x,, x-;,, . . . , x,, et s'annulant avec ces variables, et l'intégrale cherchée s'exprime en égalant cette fonction à zéro, ce qu'il fallait démontrer,