TROISIÈME CAS

Les y restent finis, la condition (9) n'est pas remplie, mais l'équation F = o n'est pas linéaire.

Théorème III. — Dans ce cas, V intégrale z peut s'exprimer en égalant

LXXVIII PROPRIÉTÉS DBS FONCTIONS DÉFINIBS PAR LES ÉQUATIONS AUX IIIKFKRENCKS PARTIELLES.

à séro II -f- I fondions F,, F.., . . ., F„(.i holomorphes par rapport à z, x,, Xî^ .... Xn, Pi — ^1, Pî — Je. • ■ • , Pli — ,'■„ e( S' annulant avec ces variables, pourvu que. si

représentent les intégrales du système (4), si tp,, cp^., . . ., (p.2« s'annulent quand z et les x se réduisent à zéro et les p aux y, les fonctions z — (3, Pi — tu,, P2 — w-2, ..., pn — w„, 6 ne s^annulent pas identiquement à la fois quand

Çl = tp.l = . . . = (p;„ = O.

En effet, en raisonnant comme on Ta fait pour le théorème |)récédenl, on verrait que pour obtenir lintéorale cherchée il sulTil :

1" De changer de variables en posant

- = 't'i, ^2='j'2, ••■, ^n='^i/ii, P\='^n+U ■■■, Pii='\'in,

les 'I étant les fonctions qui sont définies dans la résolution des équations (4) sous la forme (6) ;

2" De faire celle substitution dans les premiers membres des équations

c — p = o, j/, — io, = o, ..., p„—oi„ = o, 0=0,

qui deviennent alors

les B étant des fonctions holomorphes de x, et des o s'annulanl avec ces variables;

3° D'éliminer Xt entre ces n + 2 équations.

Or lî|, B,, . . ., Kny' ne peuvent cire idcnti([uemciit nuls à la fois, quel que soit X,, quand les cp s'annulent, à cause de la condition de restriction posée au début. Supposons, par exemple, que ce soit Bh+j qui ne s'annule pas identiquement dans ce cas.

On pourra tirer, de B^^.j = o, x, en fonction algébroïde des o; substituant celte valeur de x, dans B,, B^, . . . , B„-(.i, ces fonctions deviennent algébroïdes par rapport aux o (Corollaire II du Lenimc III).

L'intégrale s'exprime donc en égalant à zéro n + 1 (onctions algébroïdes des 9, ou, ce qui revient au même, en annulant n + 1 fonctions holomorphes des cp ou, ce qui revient encore au même, /( + 1 fonctions holomorphes en z,

X,, Xi, . . ., Xn, pt —fi, p-2 —y-2, ■ ■ ., fit — y'n- C. Q. F. D.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉOUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LWIX

Théorème IV. — Si, dans le troisième cas, :; ou les p ne prennent pas une forme indéterminée quand les x s'annulent, z est une fonction algébroïde des X.

En effet, on vient de voir que l'intégrale clierchée s'exprimait en égalant à zéro n + i fonctions lioloinorplies en ;, x ^ , .r.j, .... .r,,, p^ — )-, , p.^ — ),, . . . , yO„ — jn et s'annulant quand on égale z et les x à zéro et les /) aux j)'.

Soient

ces n + I équations. Si ces équations restent distinctes quand les x s'annulent, on pourra leur appliquer le lemnie IV.

Mais dire qu'elles ne sont pas distinctes, c'est dire que ; ou les p cessent d'être déterminés quand les x s'annulent. Or cela n'a pas lieu, par hypothèse; donc le leinme IV est applicable, donc ; est une fonction algéhroïde des x.

Remarque l. — Il est facile, dans le cas de deux variables, de trouver une interprétation géométrique des conditions de restriction posées dans l'énoncé du théorème précédent.

Dire en effet que : cesse d'être déterminé quand x q\. y s'annulent, c'est dire que la surface S passe par l'axe des r.

Dire que p e.1 q cessent d'être déterminés quand x el y s'annulent, c'est dire que la surface S présente un point conique à l'origine.

Si aucun de ces deux cas ne se présente, le théorème W est applicable.

Remarque II. — Dans le second cas, les n + i équations

se réduisent à une seule où n'entrent pas les p.

Le théorème IV sera donc applicable toutes les fois que z ne deviendra pas indéterminé quand on annulera les x.

Théorème ^ . — Dans le deuxième et le troisième cas, Vintègrale cherchée peut s'exprimer en égalant z et les x à des fonctions algébrotdes de n nouvelles variables a,, [Xo, .... |jl„.

En effet, il suffit, pour démontrer ce théorème, de se reporter aux équations

H| = Hj = . . . = ï\n+i = iJ

et de leur appliquer le lemme \'J.

L\xx morniKTKS dks fonctions nicFiNins par les kouations aux différences partikt.les.

Les proiiiitM-s inpml)res de ces équalions sont liolonior|)hes par nipporl à ;,

Pi — Vi- /'2— .r-j, ..-, pn — Vn, -Tt, ■■■, x„. Donc ;,.?,, ..., .r„ pcuvcnl

s'exprimer en (onctions algébroïdcs tle // variables auxiliaires ij.,, j^.j, . . ., jj.„.

Exemple 1. — Soit à trouver une intégrale de l'équation

qui se réduise à .r + .r ' quand on j fait

Les équations (4), qui s'écrivent

ilx dy dz '

ont pour intégrales

(5) z — a: = Kl, y — a; = K^, ■ ou Ijien

En remplaçant z et y par leurs valeurs (6) dans les équations

il vient

ou, éliminant x^

ou

{z —xY- = (y — xY.

On était placé dans le second cas, car l'équation proposée est linéaire et

'^Tx^'^Ty-'-'-''-

C'est pourquoi on est arrivé à exprimer l'intégrale en égalant à zéro une fonction homolorphe en x, f, ; :

{z—x)"-~{y--xy\

de plus, celte fonction ne s'annule pas, quel que soit -;, quand x =y = o. Donc le théorème IV s'applique et ; est algébroïde en x et en j'.

Exemple II. — Soit à trouver une intégrale de l'équation

qui se réduise à - quand on fait

PROPRIETKS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. LXXXI

On est encore placé dans le second cas, car l'équation est linéaire et la condition (9) n'est pas remplie. Le théorème II s'applique donc. Les équations (4); qui s'écrivent

dx dz dy

ont pour intégrales

(5) 3 — a; = Ki, «2-1- ^^ — a: = Kj, ou bien

(6) z=a;-+-K,, j' = ar-f- K2 — (x -I- K,)-;

en remplaçant j- et z par leurs valeurs (6^ dans les équations

il vient

ou, en éliminant a;,

K2-KÎ = o,

ou encore

qui est l'intégrale cherchée, exprimée par une équation dont le second membre est zéro et le premier une fonction holomorphe en x, y^ z.

Mais ici l'équation (12) est satisfaite, quel que soit ;, quand

Le théorème IV ne s'applique donc pas.

Exemple III . — Soit à trouver l'intégrale de

p^+q =x+y, qui se réduit à - pour y =z -.

'ix

Les dérivées partielles p et q sont alors assujetties à se réduire, quand y^=z ~ . à

en raison de la relation ^ =/>-)- ~^q {Remarque /, p. lxtii) [•

Les valeurs initiales de p et q sont 1 cl — i, et par conséquent finies; de plus, la condition (9) n'est pas remplie; on est donc dans le troisième cas, et le théorème III s'applique.

lAXXII PnOl'HIKTK» III S PONCTIONS IIKFINIKS l'A» I.KS KOUAriONS AUX DIFFUnENCBS PARTIELLBS.

Les i'(|Uiitioiis ( j), i|iii s'porivrnl

dp iiij dj- dy I \ ~ ip I

oui pour inlc<;riilcs

(5) j. y)==:K|, ,/— /) = K,, />»-+- 7 — .r—^ = Ka,

ou llICII

U'» '/ K, I /', ^'=K,-i-/), X =/)2-f- K,— K,— Kj.

Si, liiiiis les i'(|Uiil loiis

on i'cm|tLicc </.)■ cl .»• par Iimms valeurs (^(i), il vient

ïK|-t- >/» =/>•-(- Kj— K,— Kj, ., (/. - i)> — 3/'' — 3 K, 4- :î K , -H 3 Kj = o.

(îcs «•(ju.ilioii> pcuMiil s écrire

•jKi-hi = (/) — l)'-(-a, ■i(p — \Y= i/>'-|- 3a;

en posaiil, pour ai)réuer,

Kj— K, — K,= a, d'où

cl n'iu|)laçanl dans la première éipialion /» |>ar sa valeur, il vieni

(.4) <^4K.+ ,-5.)=(-<-!^i:±f:i^ + «-,.iO

Si ilaii>. celle relation on remplace a par Kj — K, — Kj, puis K, et Kj par leur!) valeurs (5), h.] par zéro, ce qui peut toujours se l'aire, puisque

un aura une i-qiialion enirc />, ij, .r, y dont les ilcux ineinhres sont holoinorphes

par rapport à ces variables.

Cette relation, jointe à

Heliiiil/) et (j en fonction de .1: et de j'. Si dans l'rquation

ji = -

PBOPBIKTÉS DES FOirCTIONS D^PIMES PAH LE8 KCtL'ATIO^^ AUX niPrÉBENCEg PARTIELLES. lAXXIII

on avait remplacé z el x par leurs valeurs (6), puis p par sa valeur (i'j), puis K), K2, K3 par leurs valeurs (5), on aurait obtenu une équation dont les deux membres auraient été holomoq)liespar rapport à z, x,y, p. q.

z, p fA q se seraient alors trouvés définis par trois équations ayant leurs deux membres holomorphes en z, r, y, />, q, comme l'exige le théorème III.

Voyons maintenant si le théorème IV s'applique.

Pour cela, voyons si, en substituant dans l'équation i\^\), à la place de y., K, — K.J — K3, à la place de K,, K,, K, leurs valeurs (5j, enfin, en faisant X ^ y =^0, l'équation en p et en q que l'on obtient ainsi est distincte àt p'' -\- q ^ o. Mais si, dans les expressions (5 j, on fait

il vient

Ki= — p, -/=-/.'.

L'équation (if\) transformée ne contient pas q; donc elle est distincte de p'-\-q ^o, pourvu qu'elle ne se réduise pas à une identité. Or on voit facilement que son premier membre est du degré 2 en p, tandis que le second membre est du degré 4- Donc les deux équations sont distinctes. Donc, en vertu du lemme IV. on peut tirer de l'équation {i4) non transformée et de

p fil q en fonctions algébroides de x et de^'.

Donc z sera aussi une fonction algébroïde de x et de>'. Donc le théorème IV s'applique.

Calcul des coefficients.

Dans les exemples qui précédent, on a formé les fonctions H,, Hj, , . . , Hn+t qui, égalées à zéro, donnent l'expression de l'inttigrale par la méthode même qui a servi à en démontrer l'existence; mais, en général, il est préférable d'en calculer directement les coefficients par le procédé que je vais exposer rapidement.

Équations linéaires homogènes.

Soit l'équation

et soit à en trouver une intégrale qui se réduise à

I.XXXIV PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

quand on a

0(xj, xj, . . ., x„) = o.

On a vu que pour trouver cette intégrale, il faut : i" Remplacer x^, . . . , Xn par les expressions

les expressions cp — (3, 9 deviennent alors holomorphes par rapport à aï) et à cp, ,

Çî) • • • ) 9«— ' >

2" Résoudre par rapport à .r, l'équation

e = o ainsi transformée et remplacer Xi par sa valeur dans l'équation

également transformée ;

3° Remplacer dans l'équation

après cette double transformation, «,, c»,, . . ., o„i par leurs valeurs en fonction de X,, x-,, ■ . ■ , x„-

Si dans l'équation 9 := o, après sa transformation, la première des dérivées

partielles de 9 par rapport à x,, qui ne s'annule pas avec les x, est -p— ^; cette

équation donne x^ en fonction algébroïde de degré m, de tp,, tp„, . . ., o„, ; donc o est également algébroïde de degré tn en tp,, cp^, . . . , »,,!, et par conséquent en j;,, x^, ...,Xn- Si, par exemple, on a

dxi ' dx\ '

quand les x sont nuls, ip sera donné par une équation de la forme

ç2-t- Aitp -H Ao = o,

où Aq et A, sont holomorphes en x, , ^2, . . . , x,,.

Ce sont les coefficients des deux séries A„, A, qu'il s'agit de calculer.

Pour que ce qui suit soit plus clair, nous emploierons les notations suivantes .

Nous poserons

du du du

dx\ dx^ ' dXn

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LXXXV

Il étant une fonction quelconque,

De plus, nous remarquerons que, dans les calculs qui servent à démontrer l'existence des fonctions A,,, A,, on a employé deux systèmes de variables :

(l(i) Xu X,, ..., Xn,

(l5) .r,, çi, ..., çi„.-i.

Nous représenterons les dérivées partielles par le symbole d quand les variables (i4) seront choisies comme variables indépendantes, par le symbole d quand ce seront les variables (i5) qui joueront le même rôle. Cela posé, voyons d'abord ce que signifient les conditions

lie d-ie ,>"'-ifj d"'e ^

qui doivent être remplies pour que cp soit algébroïde de degré m. On a

de

dxi Or

De

Or X, n'est pas nul, on peut toujours le supposer. Donc la condition

de

(/e £/û rf^/, (/e ^^3

dx^ ' dx-i dxx dxi dxi

df) ,/^„ dx„ dxx

1 dXf dxt

^, di ^. f/6 V ^^ ^'dx,-^'dx,^---'^^''dx,,

équivaut à De même,

Donc les conditions équivalent à

dXi

Jx-, Jx, dxi

àQ d^9 dXi dx\

iO = A^e = o.

Donc les conditions (i6) équivalent à

Donc, si le premier des A9, qui ne s'annule pas avec les x, est A" 8, 9 est

LXXXVI PROPBIKTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR I.KS ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

algébroïde de degré //( par rapport aux .r et s'exprime par une équation

o'"-T- A„,-itp"'-' -(-... + A,ç -h Ao= o.

Je dis qu'on a idenliquemenl

À étant une fonction lioloniorphe par rapport aux x. el, de plus,

AAo = AA| = . . . = AA,„i = o.

En effet, posons

0, = 6(a-,, 9,, tp„, )

el considérons 0, comme une nouvelle variable. On peut tirer x,. en fonction algébroïde de degré m, de a,, . . ., !p,,i el de 9,. Soient

les m valeurs de.v, ; loule fonction symétrique de ces m valeurs est holomorphe en 0| , • . . , 'fn-f ) 'i • Soient

les »! valeurs que prend 3 quand on y remplace x, [)ar

-fcj, Jj, .,., Xj

Soient Bu, B,, . . ., Bm, les coefficients de l'équation (■7) p'" -f-B„,, [}'"-• + ...+ B,^ + B„=o,

à laquelle satisfont ces m valeurs de |3.

Ces B seront des fonctions holomorplies en x\, . . . , x","" el en a, , . . . , o,;i, et symétriques par rapport aux m jiremières variables. Donc ce seront des fonctions holomorphes en Ci, . . ., 'i«i, &,.

Eliminer x, entre les équations

6 = 0,9 — [^ = "> où Ton considère les variables (i5) comme variables indépendantes, c'est

éliminer 0, entre

<f'"-^ !!,„, 9 '•-'-(-... -H B,ç -H Bu= o.

Donc, en faisant 6, =: o dans ces fonctions se réduisent à

Ao, A|, . . . , A/n— 1.

PROPRIÉTÉB DBS FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQOATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. LXXXVII

Les A étant fonctions des o seulement, on a identiquement