AA|, = AA, = . . . = AA„,, = G

De plus, on a identiquement

Bo= A(,-H Xo6|, B, = A,-f- X,e,, B„, = A,„, -f-Xm,9,,

les X étant holomorphes en »,, tp,, . . ., tp„,, 0,. Or |3 satisfait identiquement à l'équation (i7)-- Donc on a identiquement

P"'+A,„,p"''i + ...^A,p-f-Ao=).e„

X étant holomorphe en»,, Çj, ..., 'f«-i, ^i, ou, en reprenant les variables (i 4), (i8) pi'" -^ A„,, p'"-i +. . .-t- A, p H- Ao = M,

X étant holomorphe en X,, X2, ...,a;„. c. q. f. n.

L'existence des fonctions A qui satisfont à ces conditions est démontrée ; il reste à trouver leurs coefficients. Pour cela, nous supposerons que l'on n'ait que trois variables 2:,, Xn, T3 et que

A6 = o, A'9J:o, c'est-à-dire ni = 2:

Prenons le A des deux membres de l'équation (iS); il viendra, puisque

AA|, = AA) = o, (19) A^'H- A,A? = ),Ae-(- Oa)..

Cette équation et celles que l'on obtient en la différentiant un nombre quelconque de fois par rapport à chacune des variables nous donneront, quand on y annulera les x, des relations entre les coefficients de A, et de X, et ce sont ces relations qui vont nous servir à les déterminer.

Si U est la différence des deux membres de l'équation (19), on calculera donc les coefficients de A, et de X à l'aide des équations

du

dV

dXi rf^U

dxi

dxi

dx^ dx^

'~ dxi dxi

ou

Xi = a-2 = a:j = o.

Mais on peut remplacer le système

dU dU rfU dx, dx, dxi

par le système

rfU d\] ..

-j— = --j— = AU = o, axi dXi

LXXXVIII rnOPRIÉTÉS des fonctions défîmes par les équations AIX DIFFÉRENI'.RS PAHTIF.LLES.

et le système

rf«U rfMJ rf«U rf'U d'U rf'U

dx] ~ d.ri ~ dx'j ~ rf.r, </.rj ~ t/xt dx, dx^ dxf par

rf'U d«U rf»U rfiU rfAU ^ ^, jj ^ ^ dx] ~ dxt dxi dxl dx, dxt

et ainsi de suite.

Ce seront ces nouveaux systèmes (jue nous cuiploicronsL à la place des anciens.

PRKMIIiK CAS.

Dans ce cas, l'équation U ^ o donne A, = o ; l'équation A'" U = o ne contient

que

A,. X, Aa A"'->),.

Les équations

o = AU =A«U = A3U=...

nous Idunuiont donc