TROISIÈME CAS

AS = AO = o, i'P<o, A-0 o.

Dans ce cas, ré(iiialioii

se réduit à une itlenlitt'.

Les é(|uations de la luriuu DLJ = o ne cunlitimu'iil plus 1) V, , mais seulemoiil des dérivées de A| d'urdre inférieur à celui de I-).

I )aiis ce cas,

ASU = ^ = 4^=AU = o donne A,, \, M, i-'U =a .- A'O,,

DjU = 1),AU = n,A«U = o .) n,A,, D,),, 1),A).,

DjU = l),AU = DsA^U =o 7. Il, A,, n.;)., 1),AÀ,

DjA*U=o .) DjAO,,

Daii'! le lalileau prceédeiil, I), esl le s yiulu)le d une seule dillerenliation par rapport à x, ou à j:.j, D^ celui d'une double dillerenliallon par rapport aux mêmes variables, etc.

11 l'sl à reniannier (Mie Ton a ici plus d'é(|uali()ns (ju'il n'en faudrait |ioui' délerinincr les inconnues que l'on cherche; mais elles sont évidemment compatibles, puisque l'exislcnce des séri(;s Aj, A|, A est démontrée.

Il est plus rapide de calculer de la façon suivante. Introduisons une nouvelle variable a, et supposons (jueFoii ail à rechercher des foiiclious A, , Au, ). de .ri , Xj, x, et y. satisfaisant aux eoiidilions

(fl -t-aY)'-+- A,([J-(-ay)-l- Ao= ).0, AA„= AA, = o,

■/ étant une fonction donnée de x,, jt.j, Xs telle que

Ay < o |iijiii ri = .r» = a?3 = o. Dans ce cas, si

U = A(P -H «Y)'^ A,A(|1 -.- ay; - A(Xe) = o,

PROl'RIRTriS DKS PONCTIONS DÉFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFrERENCES PARTIELLES- XCl'

récjuulioii