DAU = o » DA

DA'U = o » DX,

DA2=o » DAX,

et, faisant ensuite a = o, on aura les valeurs cherchées de A„, A|, An, A.

Équations linéaires non homogènes.

Soit à trouver une intégrale de l'équation

dxi ' dxi ' ' ' ' " dxn '

OÙ X,, Xo, . . . , X„, Z sont holomorphes gw. z, X\^ x^^ . . ., Xn, cette intégrale étant assujettie à se réduire à

quand

9(Xi, X,, ..., x„) =o.

Cela revient à chercher une intégrale o de l'équation

dxi dxi ' ' dxn dz '

qui se réduise à :; — ■ p quand fj := o, ce qui se lait comme on vient de le voir. Si celte intégrale œ s'exprime par une fonction algébroïde de z et des x^

ç'+ A,!p + Ao= o,

Ao := o est l'équation qui nous donne l'expression implicite de -■ en fonction des X.

La condition jmur qu(^ le théorème iV soit applicable, pour que ;, par exemple, soit algébroïde de degré w, c'est que le coefficient de s"' dans A,,, coefficient que l'on calcule comme on vient de le voir, ne soit pas nul.

Équations non linéaires.

Soit à trouver une intégrale de

PIIOPHIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. XCIII

qui se réduise à ^i> quand 8 = 0; on calculera les fonctions w,, uj, ..., w», auxquelles pi, p-2, ...,/>„ doivent se réduire quand 9 = o, puis on cherchera, par les procédés que je viens d'exposer, n + i intégrales de

qui se réduisent respectivement à

^— P> ^1— Wl. P-l—'Oiy ■■■, Pn—^n

quand

On obtiendra ainsi n + i fonctions «i, çi, . . ., 'fn+i, qui seront données par des équations de la forme

?;«+ A,„,ç;."-<+...+ A,o,+ Ao=o,

où les termes Ao se réduiront respectivement à

H,, llç, ..., H„+,,

qui seront des fonctions holomorphes par rapport à s, aux x et auxjo.

Les équations

Hi=H,=:...= H„=H„+i=o

renfermeront l'expression implicite de l'intégrale.