CINQUIÈME CAS

Les w ne restent pas finis, mais restent déterminés quand les x s'annulent.

Si l'intégrale est assujettie à se réduire à [3 quand 9 =: o, les oj nous seront

donnés par les équations

, , If/S. ,/0

(IJC^ ttU/2

f/s . de (1), — H- = f^-, — '

où W|, (1)0, . . . , (i)/( sont les inconnues cherchées, A un paramètre à éliminer et F, ce que devient F quand on y remplace z par [3 et /?,, p., ■ • -, Pn par w,,

XCIV PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR 1,ES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIlilXES.

Si, dans les équations (ao ), on lail

JT) = j:2 = . . . = ^ri =3 = 0,

ces équations deviennent algébriques; elles donnciU duiir tonjnurs

Al Ao ' ' A„ A„+i

A|, An, .... A„, An+i élanl des fondions algébriques des coefficients de F,, de (3 et de 6, qui rcslent Unies quand ces coefficients restent eux-mêmes finis. Si

yi) ysi •••) y«> c'est-à-ilirc les valeurs que prennent oi,, Wj, ..., (j)„ pour X, = j;.j ^ . . . = x,, = o, sont finis et déterminés. C'est eu que nous avons toujours supposé jusqu'ici.

Si, au contraire,

les V ne restent pas finis; supposons que l'on naît pas à la fois

A, = As = . . . = A„ = A„+, = o ;

soit, par exemple,

Ai5o.

On changera de varialiles, et, au lieu de considérer z comme fonction de Xi, X-,, . . . , x„, on considérera x, comme fonction de z, x.2, . . ., x„.

Soient q,, qn, ..., q„ les dérivées de X\ par rapport à z, a"-.., ..., x„; soient co', , w'„, ..., '.)'„ les valeurs que prennent ces dérivées quand on fait 9 = 0;

soit F', ce que devient F, fiuand on v remplace 10,, w., . . . , (o„ par —r> r)

- — -r-y • • ■ > — -^' et (lu'on rend la fonction ainsi obtenue entière en la niultiplianl par une puissance convenable de o), .

w, , M.,, . . . , ii)[^ seront donnés par les équations

, rie, . M ,

-r- — H T^ «s -i- i^ -j— '"-> = "i dxi dx, dXi -

dx^ dxi dxi

dxn dxi dxi

PROPRIÉTÉS DBS PONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. XCV OU

Fj=o, I — fj 1 -j— = '-<" 1 -, — >

d'où

Al Aj A3 ■■■ A„ A„+, '

ui\i (1)!,, . . . , w'n restent donc finis et déterminés quand

Il en résulte que l'on est ranu'né aux cas déjà étudiés, et que l'on peut obtenir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro /; + i fonctions holomorphesen ;, ^,, x,, ..., .t„, f/, —y',,?. — Y,, .••, qn — Y;,,Ti,1'u' •■■^f,, étant ce que deviennent (x>\ , a)!, , . . . , to',, pour

.Ti = a'^ = . . . ^ X,i =1 ;; rr o.

C'est une propriété analogue au théorème 111.

Exemple. — Soit l'équation

et supposons qu'on veuille étudier l'intégrale de cette équation, cjui est assujettie à se réduire à

10!i -f- JTJ

quand on y fait

Xii= Xi-¥- X'\.

(0| et Wj sont donnés par les équations

(o| — 10^ = 1, 2 -h 'la-, = a)|-+- wjfi + 2ari) ;

OU en tirerait deuK valeurs de lo, et deux valeurs de m, en fonctions de j*i, et il est aisé de voir que, quand .r, s'annule, l'une des valeurs de lo, et Tune des valeurs de co^ deviennent infinies.

Considérons alors j:-.. comme fonction de x^ et de z.

Soit

dXi Jx,

^ dxi ^ dz

XCVI l'ROlMlIKTKS DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES.

d'où

L'équation donnée devient

et il s'agit d'étudier l'intégrale de cette équation, qui se réduit à x, +:r^ quand on fait ; = 2X, + J^'f", w', et w', sont alors donnés par

o)',' — oj',' = 11, 1 + 2 j;i = w', + (ii'j(2 -i- 2a-i ),

qui, pour x, = o, se réduisent à

T? — T!'' = >) ' = ïi + 2ïi.

d'où

72 = Oi ï'i = ''

znr = ^'71'

T- =— 2?!> dq^

dz—'

Pour X,

^ o, il vient

dq, - ^'

dF rfe

dqt ' dx,

et enfin

d^ M dF di' dq, dx\ dqi dz

Donc la condition (<)), qui se réduit ici à

dF M dF flte ^ dqi dx, dq2 dz ■" '

est remplie.

Donc x-i est fonction holomorphe de a?, et àt z. Soient

(2l) Xî= 7ia^i+ 9..Z H .rj-l- s,x,zA z'^ — . ..

Ir-s premiers termes de la série qui représente cette fonction : q^ est nul; q, est égal à I, comme on l'a déjà vu; quant à /"i, S|, ^i, nous les obtiendrons de la manière suivante. Differentions

par rapport à o; et à .s, puis faisons x ^= z ^o; il viendra

(i2) qir^— qïSi=o, q,Si— qit,= o.

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. XCÏII

Faisons maintenant dans (21)

et égalons les coefficienls de x''^; nous aurons

mais, si nous remarquons que, pour x, =0, çfi ^ i , ^2 = o, nous verrons que les équations (22) et (aS) se réduisent à

Donc t, n'est pas nul; donc, en vertu du lemnie III, z est algébroïde de degré 2 en X, et en Xo.

InterprétcUion géornétr-ique. — ■ A quoi correspond géoniélriquement le cas que nous venons d'examiner quand on n'a que trois variables x^^x.^ et 5 et que, par conséquent, toute expression de z est fonction de j?, et de Xo?

Il est aisé de voir, en se reportant à ce qui a été dit à ce sujet à propos des cas précédents et reprenant les mêmes notations, que le plan tangent P, mené par la droite T au cône G, est alors parallèle à l'axe des z; mais, comme il ne peut être en même temps parallèle aux trois axes de coordonnées, on peut toujours employer un arlilice, qui consiste à étudier la surface S. non plus comme définie par une équation où ; est égalé à une fonction de j?, et de x^, mais comme définie par une équation où x-,, par exemple, est égalé à une fonction de j^i et de z. Comme le plan P n'est plus alors parallèle à l'axe des x-,, la difficulté a disparu. Tel est le sens géométrique de l'artifice analytique qui vient de nous permettre de tourner la difficulté.

SIXIÈUE CAS.

Les W| , wo, . . . , ti)„ ne restent pas déterminés quand

Xi^= X2=- . ' .= Xfi := O.

C'est ce qui arrive quand

Al = A2 = . . . = A„ = A„+i = o H. P. - I. „.

XCVIIl PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EOU.VTIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES.

et que. j>ar conséquent, les équations

•^^ dx,

to., j-!-

dx«

-X ''* dx\

dxi

d^ "" dx„

dXn

ne restent pas distinctes quand on y annule les x.

Soit y,, vj, . . ., y„ un système quelconque de valeurs qui, suljstitué à la place de o)|, w.., . . . , a)„ dans les équations (24), y satisfont quand les x s'annulent.

Supposons qu'on veuille étudier un élément de la fonction ;; tel que t,, ar-j, . . . , x„ soient suffisamment voisins de zéro et que p^^ p.,, . . ., p^ soient suflisammenl voisins de y, , y^, . . . , y„ ; par exemple, supposons que l'on se trouve dans le cas de deux variables et que

soit considéré comme représentant une surface;. Puisque y^i et p-, ne sont pas déterminés quand

la surface présente un point conique à l'origine, et l'on se propose d'étudier, non pas toute la partie de la surface qui est suffisamment voisine du point conique, mais la partie de cette surface qui est limitée par deux courbes se croisant à l'origine.

Il est clair que l'on obtiendra l'intégrale cherchée en égalant à zéro n intégrales de l'équation

(^5) 2jXdx,^'"7û)d];,-Z,diA7àc-^^'d.)==''^

qui se réduisent respectivement à

\ ' dx, / dx2 dx, \ ^ dxi / ' 1 \ dxi/ dxs dx, \ '^ dx:t/

/ d?\dH M/ d? \

\^' dxj dzn dxiV'" dxj

PROPRIÉTKS DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES ÉQOATIONS AUX DIFFÉRKNCES PARTIELLES. XCIX

quand on a

Les expressions (26) sont holomorphes en x,, ar,, ..., x,,, 3, p^ — y,,

Donc les n intégrales de l'équation (as) sont algébroïdes par rapport aux mêmes variables. Si ces intégrales sont »,, a.j, . . . , »„, les équations

(p, = y., = . . . = œ„ = o sont équivalentes à n équations

OÙ les H sont holomorphes en Xt, x-,, ..., Xm z, />, — y,, />■. — y>, ....

Les équations (27), jointes à l'équation proposée

fournissent l'expression implicite de l'intégrale cherchée :; et de ses dérivées du premier ordre p,, p.-, ...,/>„ en fonction de a:,, x-., ..., x„, c'est-à-dire que 11- lliéorème 111 est toujours applicable.