PREMIÈRE SECTION

L'équation proposée est de la forme

(l) Xi/>,-|- \,/)-2-^. ■ .-H X„/J„= >,3,

où X| , Xo, . . . , X„ sont des fonctions holomorphes en a;, , .r.,, . . . , x,,, exprimables par des séries dont les termes de degré zéro sont nuls et dont les termes du premier degré se réduisent respectivement ù

C PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS tlÉflNIKS PAR I.KS ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

f/vpotkèse I. — SI l'on représente les parties réelles et imaginaires de A,, )vj, . . . , À„ par les coordonnées de n points dans un plan, ces n points sont tous d'un même côté d'une certaine droite passant par l'origine, ou, ce qui revient au même, le polygone convexe à l'intérieur duquel se trouvent les points X,) Xo, . . . , X„ ne contient pas l'origine.

Hypothèse II. — Les quantités ).,, ^j, ...,/« ne satisfont à aucune relation

de la forme

m^Xï-^ m^li-h. . .-h m,,!,, — 11,

où m2< • • • . 'Un sont des nombres entiers positifs.

Théorème 1. — .Si ces hypoilièses sont satisfaites^ le module de V expression

^ntiXi — Xi ,...•.■ • 1 ■ >

(ou 1 indice i varie de i a n)

S ni,- — 1

est toujours plus grand qu un certain nombre positif K, quand on donne aux nij des valeurs entières et positii'es, mais d\xilleurs quelconques.

En elTet :

1° Cette expression n'est jamais nulle, car, pour qu'elle le fût, il faudrait

que l'on eût

2;m,X, — Xi = o.

Or, toutes les fois que m, > o, le point dont les coordonnées sont les parties

réelles et imaginaires de

est à l'intérieur du polygone convexe qui enveloppe tous les points ),,; or ce polygone n'enveloppe pas l'origine. (Le cas m, = i, m2 = •••="'« ^ o est réservé.)

Si au contraire /??, = o, on n'aura pas non plus

mjXoH- m3X3-t-. . .+ /w^X,,— X, = o,

en vertu de l'hypothèse IL Donc

2° Cette expression ne tend pas vers zéro quand les m tendent vers l'infini, d'une manière quelconque, mais en restant entiers positifs.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIO?iS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. Cl

En effet, supposons que m,, «i^, •••) "i/i tendent vers l'infini, de manière que

OÙ les a, et a, sont des quantités finies, déterminées, positives et d'ailleurs

quelconques.

On aura

2/?i,X,— X, Sa,X:

Hm

2 nii — I Sa,

Or "y'' ' est rej)résenté par le ccîiitre de gravité de n masses égales respectivement à a,, a^, . . . , a„ et placées aux points )>|, ).,, . . . , ).„.

Ce centre de gravité est à l'intérieur du polygone convexe circonscrit aux

points X,, Xj, . . . , ).„. Donc

S g.- Xi ^ ^ o.

Donc on peut choisir un nombre positif K tel que

S«iiXi— X,

mod — > K.

Théorème II. — Il existe une infinité de fonctions holomorphes qui satisfont à V équation

OÙ s =X| -\-x., +. . .-\-x„.

En effet, faisons dans l'équation (2)

Z = Xi— Xk\

il vient

Pi=l, Pk = — i,

et l'on voit aisément que l'équation est satisfaite. Soit maintenant

où H=: «M + a, d'où

•^'^^>=[s-(U + a)S']^' il viendra

Pi=f'(S).

en PROPRIÉTÉS DES PONCTIONS DÉFINIES P*R LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

et, par conséquent, le premier membre de l'équation (2) s'écrira

S — (nM-H a)S2

nH^"-m-^-">-

, — aS

Donc la foncliony(S), qui est une fonction holoinorphe, satisfait également à l'équation donnée.

11 en sera de même des fonctions

où K|, K.., . . ., K„ sont des constantes quelconques.

CoROLLAiRK I. — Pcimii CCS J'oiictions , il y en a u?ie qui est représentée par une série dont les ternies du premier degré se réduisent à x,.

En eflet, / (S) est représenté par une série dont le premier terme est S. Si donc on fait dans l'expression (3)

Kl = — ) Kj = Kj = . . . =: K„ = — — ,

celle expression devient une série que nous appellerons a (.2), et dont les termes du premier degré se réduisent à X\.

Corollaire II. — Si M et a sont réels positifs, H et — q — seront réels positifs, et tous les coefficients de la série f{x) sont réels et positifs.

Théoré;me 111. — Si les hypothèses I et II sont satisfaites, Inéquation (1) admet une intégrale holomorphe, et une seule, dont les ternies du premier degré se réduisent à x,.

i" Il existe une série, et une seule, qui satisfait formellement à l'équation (i) el dont les termes du premier degré se réduisent à x,.

En efTet, si une pareille série existe, on obtiendra le coefficient du terme en

•*' i •*' 2 • ■ ■ ^ Il 1

en diflérentianl l'équation (1) ni, fois par rapport à x,, . . ., m„ fois par rapport à x„, el en égalant les r à zéro. Posons, pour abréger,

Jm,4-m,+ ..,+m„IJ