DU

dxftdx'^'...dx«

on aura

\)\rPr=-[(\rh+{Pr),\"'<\C!iTh+(Prh\"----.[(^r)n-^{Pr),i]'"",

PROPHIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CI»

équation donl le second membre est une expression symbolique où l'on convient d'effectuer la mulliplicalion d'après les règles ordinaires du calcul et de remplacer après l'opération

^Y Mi,/ Y Mi, /Y Mi rflii+li^+'-' + li-X^

(X.)Ï.(X.)^...(V)^ par ^^-^^^-^-^,

et de même pour^^- Donc on a

», ,«, «r dDz d\r r-. dX.r r^ d\r -^ ^ -^

D(Xr/'r) = X^-j j-m, -^D,2 -i-m2-— ^Dj =-(-... -I- m„-j-^D„; + SB.

dXr axt dxi aXn

Dans celte expression, D,U représente une dérivée partielle de IJ qui ne diffère de DU que parce qu'une differentiation par rapport à .r, a été remplacée par une differentiation par rapport à x^ de telle façon que

dXr diT'-'dx'^'dx'r''. . .dx"

Les B sont des termes formés d'un coefficient positif, d'une dérivée de Xr d'ordre supérieur au premier et d'une dérivée de ;; d'ordre Inférieur à m, +/no +. . .-f-»!„.

Si l'on annule les x, X,- s'annule ainsi cjue ses dérivées du premier ordre, excepté -j-^> qui se réduit à A^. On a donc

et Ds est donné par l'équation

(4) (m|X,-+- msXj-i-.. .-(- "inX„— X,)!)- -f- SB = o.

Si l'on connaît les dérivées d'ordre inférieur à celui de D;, cette équation permettra de calculer D;, puisque

OT, Xi -I- /«iXj + ...-*- ni„\„ — Xi I o.

Donc, si l'on connaissait les dérivées du premier ordre, on pourrait calculer toutes les autres et l'on ne trouverait pour elles qu'une seule valeur. Or les dérivées du premier ordre sont données par l'équation

(Xi— li)pt= o.

Si i^ I,

CIV PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉOUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

si (■ = I. l\(iualion est indéterminée. On peiil choisir pour /), telle viilcur que l'on veut, et, en particulier, on peut liiire

iPi = i-

Donc il existe une série satisfaisant formellement à l'équation (i), dont les termes du premier degré se réduisent à .r,, et il n'y en a qu'une.

2° 11 existe également une série qui satisfait formellement à l'équation (2) et dont les termes du premier degré se réduisent à x,, et il n'y en a qu'une, car l'équation (2) est de la forme [j).

Les coefficients de cette série sont donnés par les équations

(5) (m,+ mj + . . .+ m„— i)D3-+- SB, = o,

OÙ les B| sont formés avec les dérivées partielles des coefficients des p dans l'équation (2) comme les B avec les dérivées partielles des X.

Celte série ne peut être autre que o{x); elle est donc convergente.

3° On peut former une équation auxiliaire qui soit de la forme (2) et qui nous aidera à démontrer la convergence de la série définie par les équations (4).

Soit, en eflet,

S = ar I -t- a-} -+- . . . -i- x„ ;

supposons que l'on ait toujours

, Sw/A; — Al ^ ,.',,. , ■ ■!■■.

iiiod. ^ ^>K (K étant positif),

z.mi — 1

ce qui est toujours possible, d'après le théorème I.

Supposons que les fonctions X,, Xj, . . . , X„ restent holomorphes quand les modules de x^, .r.,, . . ., x„ restent plus petits que - (a étant réel positif) et

qu'en même temps les modules de ces fonctions X|, Xo, . . . , X„ restent plus

M petits que -^- (M étant réel positif).

Soit