MS

L'équation est de la forme (2); elle admet donc une intégrale holomorphe

dont les termes du premier degré se réduisent à x, et dont on peut calculer les

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CV

coefficients à l'aide des équations (5) ou des équations (ibis) K{mi-T- m, + .. .+ m„ — i) Dj'-t- 1 KB, = o.

4° Toutes les dérivées partielles de KX'^ d'ordre supérieur au premier sont réelles, négatives et de module supérieur à la dérivée correspondante de X^.

5° Les D::' sont positifs et leurs modules sont plus grands que ceux des D:; correspondants.

En effet, supposons que cela soit vrai pour les dérivées d'ordre inférieur à celui de D; : je dis que cela sera vrai également pour Dz.

En effet, soient B, Tun des termes B, B,, le terme B, correspondant :

où A représente une dérivée d'ordre supérieur à i et A, une dérivée d'ordre inférieur à celui de D; ; de même,

KB„=/'A(KX',)A,(^').

A, (s') est positif et de module plus grand que celui de A|(;); A(KX^.) est négatif et de module plus grand que celui de A(Xr). Donc RB,, est négatif et de module plus grand que celui de B,-.

Donc SKB| est négatif et de module plus grand que celui de SB.

De plus,

K( »ii-t- /Hj-H. . .-(- rn„ — i)

est positif et de module plus petit que celui de

«iiX,+ nitli-i- . . .-(- m„Xn — Xi.

Donc

KSR,

K(»2i + /"! + . . .H- nin — I)

c'est-à-dire T)z' est positif et de module plus grand que celui de

c'est-à-dire de D;;.

Or la série

est convergente.

Donc la série