PREMIÈRE PARTIE. — ÉOUATtOXS DIFFÉRENTIELLES. III

C'est Cauchy qui y a pénétré le premier, grâce à l'invention d'une méthode ingénieuse qu'il a appelée calcul des limites. A sa suite, MM. Fuchs, Briot et Bouquet, et M""® Kowalevski ont employé avec succès la même méthode.

Ce sont donc les travaux de ces géomètres qui m'ont servi de point de départ.

En présence d'un problème si compliqué, ces divers savants, au lieu d'étudier la manière d'être des intégrales des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles pour toutes les valeurs de la variable, c'est-à-dire dans tout le plan, se sont d'abord occupés de déterminer les propriétés de ces intégrales dans le voisinage cVun point donné. Ils avaient ainsi reconnu que ces propriétés sont très différentes selon qu'il s'agit d'un point ordinaire ou d'un point singulier. Dans le voisinage d'un point ordinaire, l'équation différentielle peut se mettre sous la forme

[oïl /(.!', y) est holomorphe en .t — .Tq, y — //o], et y peut se développer suivant les puissances de .t — .To.

Dans le voisinage d'un point singulier, l'équation différentielle peut se mettre sous l'une des deux formes

(2) {^-■^o)-£.=fi-^,y),

si elle est du premier ordre ou, sous des formes analogues, si elle est d'un ordre supérieur ou aux dérivées partielles. Dans le cas oli l'équation différentielle se met sous la forme (2) (ou sous des formes analogues pour le second ordre ou les ordres supérieurs), MM. Briot et Bouquet avaient signalé certaines propriétés des intégrales, et M. Fuchs en avait donné le développement en séries dans le cas particulier des équations linéaires.

J'ai complété les résultats de Cauchy relatifs aux points ordinaires (278, Chàp. II) en montrant dans quelles conditions la solution peut être développée non seulement suivant les puissances de la variable indépendante, mais suivant celles des valeurs initiales, ou celles d'un petit paramètre arbitraire, dans le cas où les équations différentielles dépendent d'un pareil paramètre. J'ai montré comment ces séries procédant suivant les puissances de ce paramètre ou des valeurs initiales peuvent encore rester convergentes non seulement pour les

IV ANALYSK DKS TRAVAUX SC'.lE.NTiriQUES DE HENRI POINCMIK FAITE PAR LUI-MÊME.

l^ctitcs valeurs de la variable indépendante, mais pour des valeurs quelconques lie cette variable. Mais je me suis surtout occupé d'étudier ce qui se passe dans le \oisinage d'un pcmil singulier.

J'ai cherché d'abord à étudier l'équation (2), supposée non linéaire et à trouver le développement en série de ses intégrales. J'ai reconnu (78) (^) que ces intégrales peuvent se développer suivant les puissances de [x — x„) et de [x — a\,)^', ). étant une constante facile à déterminer ou, dans un cas particulier, suivant les puissances de [x — x„) et de log {x — x„). Le résultat peut d'ailleurs s'étendre aux équations d'ordre supérieur.

J'ai voulu ensuite ((i4) étudier du même point de vue les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cauchy et M™^ Kowalevski nous avaient appris comment on peut développer en séries les intégrales de ces équations dans le voisinage d'un point ordinaire. Il restait à étudier ces intégrales dans le voisinage d'un point singulier, comme l'avaient fait MM. Briot et Bouquet pour les équations différentielles. En abordant ce problème, je rencontrai deux sortes de singularités : les premières accidentelles et spéciales à l'intégrale particulière que l'on envisage, les secondes essentielles et provenant de l'équation aux dérivées partielles elle-même. Dans le premier cas, je vis aisément que les intégrales satisfont à des équations algébriques, dont les coefficients sont holomorphes par rapport aux variables. Dans le second cas, les difficultés à surmonter étaient plus grandes.

J'ai envisagé d'abord l'équation

où les X sont des fonctions holomorphes de x^, x.,, ..., x,, (quand ces variables sont suffisamment voisines de zéro) et s'annulent avec ces variables.

Pour que cette équation admette une intégrale holomorphe, il faut d'abord que À satisfasse à une certaine équation algébrique dé degré n; mais cette condition n'est pas suffisante; les racines de cette équation doivent de plus être assujetties à une condition spéciale : le polygone convexe qui contient tous les points du plan qui représentent ces racines ne doit pas contenir l'origine. Si

(') Les cliifîres placés entre parent lièscs renvoient aux numéros de la BiHiofcrapliie générale qui accompagne le Résumé analytique; ils sont reprurluils, pour la première Partie, à la suite de l'article.