PREMIÈRE PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. V

cette condition est remplie, il y a toujours une intégrale holomorphe, et il n'y en a pas, en général, dans le cas contraire. Nous verrons plus loin quelles sont les conséquences de ce fait dans la théorie générale des fonctions. Considérant ensuite les équations

dx\ dx-i dxn

je reconnus que les intégrales de ce système sont de la forme

Kj K2 K„

où les T sont des fonctions holomorphes par rapport aux .t, où les >, sont les racines de l'équation algébrique dont nous venons de parler et les K des constantes d'intégration.

Cela n'est vrai d'ailleurs que si les À satisfont à la condition énoncée plus haut, et, dans ce cas, il est possible de trouver le développement des diverses intégrales particulières de l'équation (4).

Tout ce cjue je viens de dire ne s'applique qu'aux points singuliers les plus simples, analogues à celui de l'équation (2). Pour les singularités d'ordre plus élevé, telles que celle que présente l'équation (3), on ne sait presque rien. Ces singularités d'ordre supérieur se présentent en particulier dans l'étude des équations linéaires, dont les intégrales sont dites alors irrégulières; mais, même dans ce cas spécial, nous ne savons à leur sujet que fort peu de chose.

M. Thomé, qui les a étudiées, a montré que les équations sont alors satisfaites formellement par des séries de la forme suivante :

P {x) étant un polynôme entier en .t et ^ i -) étant une série Ordonnée suivant

les puissances décroissantes de x. (Je suppose ici, pour fixer les idées, qu'on a rejeté le point singulier à l'infini.) Mais, pour que ces séries représentassent les intégrales cherchées, il faudrait qu'elles fussent convergentes, ce qui n'a lieu que dans des cas particuliers. J'eus l'idée d'appliquer à ces intégrales irrégulières la transformation de Laplace (104, 83, 73 et 182), et j'obtins ainsi sous une forme nouvelle et simple la condition de convergence de ces séries; mais le

\l ANAl.VSIi DKS TnAVATK SCIKNTIFIOI'ES OE IIIÎNIU l'OINCAniî KAITIÎ PAR II I-MI-MU.

cas di- la convergence n'éUiit qu'exceptionnel, et il semblait que, dans le cas général, on ne pût rien tirer des développements de M. Thomé. Il n'en était rien. On connaît depuis longtemps une série, celle de Stiuling qui, bien que divergente, peut être légitimement employée pour représenter la fonction

car, si .V est très grand, l'erreur commise sur cette fonclion en s'arrêtant dans la série à un terme de rang convenable est extrêmement petite. J'ai montré que les séries de M. TnoMÉ jouissent de la même propriété. Alors même qu'elles

sont divergentes, elles représentent les intégrales des éqiiations proposées de

T' ( x) la même manière que la série de Stirling représente la fonction—— J'ai

trouvé en outre, en passant, un certain nombre de propriétés des équations linéaires, entre antres celle-ci :

Si une équation linéaire d'ordre n a pour coefficients des polynômes entiers d'ordre m {m < n), elle admettra ?! — m intégrales holomorphes dans tout le plan.

Mais l'étude des intégrales des équations différentielles dans le poisinage d'un point donné, quelle que soit son utilité au point de vue du calcul numérique, ne saurait être regardée que comme un premier pas. Ces développements, qui ne sont valables que dans un domaine très limité, ne nous apprennent pas, au sujet de ces équations, ce que nous apprennent les fonctions 0 au sujet des intégrales des différentielles algébriques : ils ne peuvent pas être considérés comme une véritable intégration.

11 faut donc les prendre comme point de départ dans une étude plus ajjprofondie des intégrales des équations différentielles où l'on se proposera de sortir des domaines limités où l'on s'était systématiquement cantonné, pour suivre les intégrales dans toute l'étendue du plan.

Mais cette étude ])eut être faite à deux points de vue différents :

1° On peut se proposer d'exprimer les intégrales à l'aide de développements toujours valables et non plus limités à un domaine particulier. On est conduit ainsi à introduire dans la Science de nouvelles transcendantes; mais cette introduction est nécessaire, car les fonctions anciennement connues ne permettent d'intégrer qu'un très petit nombre d'équations différentielles.

2° Mais ce mode d'intégration, qui nous fait connaître les propriétés des