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ajj— S a.23

Nous appellerons À,, À^! • . • i À„ les n racines de cette équation (i6).

Hypothèse l. — L'équation (iG) n'a pas de racines multiples.

Hypothèse //. — Si l'on représente les parties réelles et imaginaires des /. par les coordonnées de n points dans un plan, ces n points sont d'un même côté d'une certaine droite passant par l'origine.

Hypothèse IH. — L'un des ), n'est pas égal à une fonction linéaire à coeflicients positifs des autres )..

Lem.mb I. — Si l'hypothèse I est satisfaite, oit peut ramener par un chaii-

PROPRIÉTÉS DRS FONCTIONS HÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CVII

gement de variables Vétude de Véqualion (lô) à celle d'une équation de même forme, mais où les termes du premier degré de X|, Xo, . . ., X„ ic réduisent respectivement à

Ai3*i, A2^2) •••) ^n^n>

c'est-à-dire à une équation de la forme (i).

Soit, en efTet, un changement linéaire de variables

Si le délerniinanl des |3 n'est pas nul, on pourra écrire les équations (17)

Les équations

dx\ rfa^-j t?a-„ dz

deviennent, après la transformation,

dy^__ __ dy-, dy „ (Iz^ ^'9^ STu-X,- - Sy.A.- Sy«.X,- Sz'

Les conditions pour que les termes du premier degré de SyuX, se réduisent à X,yi s'écrivent

Yii^ii-t-Tnait:^- • ■ + Yi"^i« Yii"?! "*" Yi;''2; + - ■ ■+ Y"'"""

Yn Yi'-

Yi"

Yii<«'n-i- Yiî«'«-^- • •-+- Yi"*"" 1

d'où

rot,,— "^>i^ru + '^v-.'i\-.-^- • ■ + «i/,Yi« = Oi

^;,lYu+ "nïYlî"'"- ••+(''■'"'" ^1 'ïl" =°-

Ces équations, qui sont linéaires par rapport aux y,,, conduisent pour ces variables à des valeurs différentes de zéro, car le déterminant de leurs coefficients est nul, puisque A, est l'une des racines de l'équation (16).

La condition que les termes du premier degré de Sy^/X, se réduisent à ÀaJ'a permettrait de même de calculer les yt,.

CVIII PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

D'après un ihéorème connu, l'équation (i6) n'ayant pas de racines multiples, le déterminant des y n'est pas nul. Donc des valeurs des y on pourra déduire celles des |3.

Donc on aura pu choisir les coefficients du changement de variables (17) de telle façon que les conditions posées à l'énoncé du lemme soient satisfaites, c'est-à-dire qu'après la transformation l'équation (i5) devienne

ou

(ao)

où

dz dz '"^dyr '^'-^dy..

et où les termes du premier degré des Y se réduisent respectivement à

LemmeII. — Si V hypothèse II est satisfaite pour r équation (là), elle l'est également pour l'équation (20), et réciproquement.

Car l'équation (16), tirée de l'équation (là), a les mêmes racines que l'équation analogue tirée de l'équation (20).

Lemme III. — S'il existe une série, ordonnée suivant les puissances des x, qui satisfait formellement à l'équation (i5), cette série satisfera formellement à l'équation (20) après qu'on y aura remplacé les x par leurs valeurs en fonction des y, et réciproquement.

Lemme I\ . — Pour que l'équation (i5) admette une intégrale holomorphe, il faut et il suffit que l'équation (20) en admette une.

Car toute fonction holomorphe par rapport à n variables x,, x-,, ..., Xn est également une fonction holomorphe de n combinaisons linéaires de ces variables,

et la réciproque est vraie pourvu que le déterminant des y ne soit pas nul.

TiiÉORJîME V. — Si les hypothèses l, // rt III sont satisfaites pour l'équation (iS), cette équation admet une intégrale holomorphe différente de zéro.

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. CIX

En effet, dans ce cas, l'équation (20), qui est de la forme (i), satisfait aussi aux hypothèses 1 et II, c'est-à-dire aux hypothèses I et H de la première Section. Elle a donc une intégrale holomorphe différente de zéro, d'après le théorème III. Donc, d'après le leinme IV, l'équation (i5) admet aussi une intégrale holomorphe.