PROBLÈME II

Pour résoudre ce problème, nous allons nous servir d'un théorème dont l'énoncé nous a été communiqué par M. Darboux.

Théoriîme VI. — Si les conditions posées à l'énoncé du théorème V sont satisfaites, les équations

dx\ dxz dXft

ont des intégrales de la forme

TV

~ Kî ~"

OÙ les T sont des fonctions holoniorplies des x et les Iv des constantes arbitraires.

En effet, considérons les deux équations

X,/>, ■+■ \,p, -(-...+ \„p„= X,3, X,/)', -I- X./j'j -t- . . . -^ X„/j;, = X, a'. Soient

deux intégrales holomorphes de ces deux équations; la fonction

satisfera à l'équation

^'dx,^-dx,^--^^''dx, -

c'est-à-dire que

Kl "" K, '

ex PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS nKFlNIES 1"A1( LES ÉQUATIONS AUX DIFKKHENCES PARTIELLES.

OÙ K.| el K.. sont dçs constantes arbitraires, sera une intégrale des équations

dx< dœ^ dx„

A] A2 An

Théorème Vil. — 5i les conditions posées à V énoncé du théorème V sont satisfaites, les intégrales des équations

«te, dj:-, dx„ dt

peuvent s'exprimer en égalant x,, .r-,, . . . , Xnà n, fonctions holomorphes en K,a'., K.../^i, ..., K„<*», K,, K^,, ..., lv„ étant des constantes arbitraires.

En eflet, les intégrales des équations (27) s'écrivent

d'où

(28) T„=KVt'-., T,= K"iw\ .... T„=K;,-/'..

Remplaçons dans T|, T.., . . . , ï„ les x par leurs valeurs (17), puis résolvons les équations (28) par rapport aux }'; T,, T^,, . . . , T„ ne contiennent respectivement, en fait de termes du premier degré, que des termes en j-, , y.,, ■ ■ ■ ■, y», et aucun de ces termes n'est nul.

Donc les équations (28) donneront les y en fonction hcdoniorphe de K^,'<^i,

K>^t\ ...,Kl''t'-n.

Donc les x sont aussi des fonctions holomorphes de ces mêmes quantités.