TROISIÈME SECTION

L'équation n'est pas linéaire.

Nous supposerons que, si l'équation proposée s'écrit

où X|, Xî, . . . , X„, Z, P|, P.j, . . . , P„ sont les dérivées du premier ordre de F par rapport à .r,, jTj, . . . , x,,-, :, pt , p^, ...,/)«) l'équation

( (X, + />,Z)-^ +(X,+ p,Z)^+...+ (X„ + p„Z)p~ ,33^ I ('Pi (fpi dpn

satisfait aux conditions posées à l'énoncé du théorème V.

Nous supposerons que l'intégrale que l'on cherche se réduise à <\i(^, , pi.,, . •■ , jJ^n-i ) quand on y remplace x,, Xo, . . . , .r„ par 0,, S^, . . ., ^„, et que, dans le même cas, p,, p-21 ■ ■ ■ 1 pn se réduisent aussi à des fonctions connues lo,, Wo, . . ., w,, de II,, [X,, . . ., jx„,.

On peut toujours supposer que, quand [jl,, jji^, ..., [j^„i s'annulent, lo,, u).j, ..., w„ s'annulent aussi, car, s'ils se réduisaient à yi, y.i, ..., y», on

poserait

et l'on serait ramené au cas où les w s'annulent. Quand on fait

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. CXIII

on a

Mais quand l'équation (33) salisfait aux conditions posées à l'énoncé du théorème V, toutes ces quantités ne peuvent être nulles à la fois quand on donne à ^, aux x et aux/> des valeurs suffisamment voisines de zéro et annulant F, c'est-à-dire que les équations

X, -H/ij Z = Xj-H/ï^Z = . . . = X„-t-/>„Z = o,

sont distinctes, car, si elles ne l'étaient pas, le déterminant fonctionnel des premiers membres de ces équations par rapport à :;, x^^ x-j,, .... Xn, pt, /'21 •••? pn serait nul.

Or l'équation qui correspond à l'équation (iG) est formée en égalant à zéro un déterminant qui ne diffère de ce que deviendrait ce déterminant fonctionnel quand on y annulerait s, les x et les p, que parce que certains termes seraient diminués de l'inconnue S.

Donc, si le déterminant fonctionnel était nul, cette équation admettrait une racine nulle. Donc elle ne satisferait pas aux conditions posées à l'énoncé du théorème V.

PHOBLÈME II.

Les équations

dxi dx^ dXn dz — dp^ — dpn

admettent, d'après ce qu'on a vu dans la deuxième section, des intégrales de la

forme

où les K sont des constantes arbitraires, t une variable auxiliaire, les X des constantes données, les T des fonctions holomorphes de z, des x et des p s'annulant avec ces variables.

Ces intégrales peuvent se mettre sous la forme

P\—Jn+\^ P'. — Jn+I, ■■■, Pn ^= Jtn,

OÙ les y sont des fonctions holomorphes de K, Û-', K2f^', . . ., Kon+i <''"*' s'annulant avec ces variables.

CViy l<ROI>RIBTÉ$ DES FONCTIONS nKKlNIES PM\ LES É0UATION8 AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.