PROBLÈME

Soit à trom-er une intégrale de

qui se réduise à quand on y fait

^1 = 9i(|^n, 11-'., ■ ■ -, I-tn-i), X. = 92(n,, n,, .. ., n„^i),

r„= e„([Jl,, |ij, . .., [in'\),

{3 et les 9 étant des fonctions holoniorphes des ^ s' annulant avec ces variables.

Quand on fait

Xt=^i, a:, = 6,, ,.., x„=Qni

les p se trouvent assujettis à se réduire à certaines fonctions des p. : w,,

Ces fonctions sont délerniinées par les équations

F(P, 9i, 9s, . . ., 6„, (0,, (Uj, . . ., <o„) = o,

d& M, M, fl^6„

-r- = <"i j — + "'t -r^ + . . . + 0J„ -j— , ai^i «1^1 a[x, d(i,

,, ^ / rfp <ie, de, , rfe„

(17) ',-3— = (Oi -=— +^"2:7 — 4-. . .-(- W„ -j— ,

ajjij ajjt. ajx, «ij.»

rfS rfO, M, rfe„

PREMIER CAS

Les équations (i"]) donnent les w en fonctions algébroïdes des \i. Ce cas ne présente pas de difficulté spéciale, et l'on verra plus loin comment on le traite.

DELXIÈME CAS.

Les équations (3j) ne donnent pas les w en fonctions algébroïdes des |a.

Les deux membres de chacune des équations (S^) sont holomorphes par rapport aux |j. et aux «. Donc, en vertu du lemme VI (I" Partie), on peut en tirer les w et les ia en fonctions algébroïdes par rapport à 11 — 1 nouvelles

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉriNIBS PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CXV

variables

et s'annulant avec ces variables.

Donc [3, les 9 et les lo seront algébroïdes par rapport aux v et s'annuleront avec eux. On est donc ramené au premier cas.

Exemple. — Un exemple fera mieux comprendre ce qui précède. Soit l'équation

Soit à trouver une intégrale de cette équation se réduisant à

|xf + \xl

quand

Les équations (3^) s'écrivent

(1)* = (dJ + (0^,

On ne peut tirer de ces équations les u en fonctions algébroïdes des jji. Mais posons

il viendra

3 fi; = Vi('>, 1^1+ Us),

d'où

3(3;j.; — ■2v,ai)'= •2ViV2(3|JLf — îviia, ) + v? [X,,

équations qui définissent jj., et [ji^ en fonctions algébroïdes des v. De même, w.!;, [xj + [J.j[A|, uLj + [x^ s'exprimeraient en fonctions algébroïdes des v.