CAS GÉNÉRAL

Dans tous les cas on peut donc supposer :

1° Que les 6, ^ et les w sont algébroïdes par rapport aux pi; 2" Qu'ils s'annulent avec ces variables.

CWl PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIKS PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIEl.l.KS.

On poiU toujours supposer que les équations de la forme

o;" 4- A,„, o;"-i + . . . -f- A, 6i+ Ao = o,

qui définissent les S par exemple, de même que celles qui définissent [3 et les w, sont irréductibles, c'esl-à-dire ne sont pas un produit de deux équations de même forme.

On remarquera que, pour un même système de valeurs des [a, (3, les 9 et les w sont susceptibles de plusieurs valeurs.

Soit

un système fixe de valeurs des [/..

Soit

pO, 0|,O, 8?,0, •■■1 "h.O, <U|,0, <"2,0j •••• '"n.O

un système fixe de valeurs de p, des 9 et des w, tel qu'en substituant dans les équations ( 3^ ), à la place de

u^i, iJ-u ..., (J^n-i, p. 6,, 6,, ..., 0„, (0,, oj.,, ..., w„, fJ^l.o, 1^-2,0, ■■-, IJi-n-i.o, Po, Oi,o, 9-2.UI ■••! '^",o> <^i.o. "2,(1, ■•■, Wn,o,

ces équations se trouvent satisfaites.

Supposons maintenant que l'on fasse varier les ij. d'une manière quelconque en partant du système fixe de valeurs

pour aboutir au système quelconque de valeurs

Supposons que [3, les 9 et les w varient d'une manière continue en même temps que les y., en partant du système initial de valeurs

?0, 'Jl,Oi Sz.O, ■•■) ^n.u, "J|,o, <"2,ll, •••, W„,o,

et qu'ils deviennent égaux respectivement à

(3ybis) fi,, 6i,i, 6j,,, ..., 0,,,,, tu,,,, lu.,,, ..., t,.,,,,

quand les u. deviennent égaux respectivement à

H-l.l, ÎJ-2.11 •■•' l-t/1-1,1.

Nous appellerons les valeurs {'i-] Ois) valeurs correspondantes de p, des 9 et des ui.

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CXVIl

Pour résoudre le problème III, il faut d'abord remplacer dans les T

Z, X,, Xi, ..., X„, />,, /).,, ..., pn

par

P, fil, 82, ■■., On, UJ,, loj, ..., w„;

il viendra

Tl='l'l, T,= l,, ..., 'ïi„+i='Yin+\-,

les A étant algébroïdes par rapport aux [jl. Si l'on n'a substitué à :, aux x et aux yj, dans les T, que des valeurs correspondantes de |3, des 9 et des w, les équations qui définissent les '} sont irréductibles.

On appellera système de valeurs correspondantes des i}» un système de valeurs de ces fonctions obtenu en substituant dans les T un même système de valeurs correspondantes de 3, des 0 et des 10.

Il faut ensuite, comme on l'a vu dans la Section précédente, remplacer dans les équations (35) les T par les 4 et t par [j.,,.

z, les X et les/? s'expriment alors par des fonctions algébroïdes en [j.(, i^^, ...,

[-«■n-l, Y-n 1 Y-aï ■ ■ ■ 1 V-n.

Si l'on a eu soin de ne donner, dans cette substitution, aux ■]; que des valeurs correspondantes, les équations qui dédnlssent s, les x et les p sont irréductibles. On dira encore que des valeurs de z, des x et des p sont correspondantes quand on les aura obtenues parla substitution dans les équations (35) d'un même système de valeurs correspondantes des i/. Les expressions de z-, des X et des p que l'on vient d'obtenir donnent-elles l'expression implicite de l'intégrale cherchée?

Pour que cela soit, il faut et il suffit que l'on ait identiquement

dz '^■^ ^*

1° Je dis que ces conditions sont remplies, pourvu que les [x ne prennent pas certains systèmes particuliers de valeurs.

En effet, w,, co.2, . . ., oj„, [3, 0,, 9j, . . . , 0„ ne sont pas tous identiquement nuls. II en résulte que, pourvu qu'on ne donne pas à iji|, [jl.,, . . ., (ji„, des valeurs qui satisfassent au moins à une relation donnée

on n'aura pas à la fois

On pourra toujours choisir les a d'une infinité de manières, de telle façon que

CXVIll PROPRIRTBS DES PONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX niFFÉRENCBS PARTIELLES.

les modules de p, des w, des Ô soient aussi petits que l'on veut et que les [a ne

satisfassent pas à

Dans ce cas, comme on l'a vu au commencement de celle Section, les fonctions

X,-î-yU|Z, X« + /i.;Z, .... X„-t-/>„Z

ne s'annuleront pas à la fois quand on y remplacera z, les p et les x par (3, les oj et les 9. Mais alors les fonctions J sont identiquement nulles, comme on l'a vu dans les Généralités {\" Partie); les équations qui donnent j, x^, x-,, . . . , x„, fk , Pli • • • 1 />« en fonction des [i. sont bien l'expression implicite de l'intégrale, et, par conséquent,

dz dz dz

sf;-^'" d^,-^'-' ■■■' iHF^^P'-

Supposons inainleiiant que l'on donne à

Hii l^'., ■■■, H«-i des valeurs qui annulent à la fois

to,, w.,, ..., to„, p, 0,, 0-, ..., (I„,

et voyons si les expressions que nous avons trouvées représentent encore réellement rintégrale cherchée.

Interprétation géométrique. — Supposons que Ton n'ait que deux variables indépendantes x, et Xj, et que, par conséquent, l'intégrale soit susceptible de représenter une surface S.

Il s'agit de déterminer la surface S de telle façon qu'elle passe par une courbe donnée C, passant elle-même par l'origine, et qu'en chacun de ses points son plan tangent P soit tangent à un cône donné. Nous avons trouvé une expression de la surface S en égalant z, x^, x-, à certaines fonctions de deux variables auxiliaires ^, et |i....

.Si, donnant à [Ji| une valeur cotistante qui n'annule pas

on continue à considérer j.i.^ comme une variable, ces expressions de :;, x,, x-^ en fonction de u., et jjl.., définiront une courbe K,„ passant par le point

[■» = P(Ki>- ^1= 6i([ii>, 2:2= 0:(|^ijj,

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CXIX

qui est sur la courbe G et que nous appellerons m, et passant aussi par l'origine.

Nous avons vu que, si la surface S cherchée existe, la courbe K,„ en fait partie, et qu'effectivement, tout le long de cette courbe G, la surface engendrée par les courbes K„, satisfait aux conditions de la définition de la surface S.

Supposons maintenant que ^i tende vers une valeur qui annule à la fois les m, j5 et les Ô, par exemple vers zéro, c'est-à-dire que le point m se déplace sur la courbe G en se rapprochant indéfiniment de l'origine.

Dans ce cas, ou bien tjL2 restera fini, et alors ;, Xi el .1^ tendront vers zéro, ou bien [jlj augmentera indéfiniment et z,x,, x-, tendronl vers dos limites finies, c'est-à-dire que, quand le point m tendra vers l'origine, la courbe Km se rapprochera indéfiniment d'une certaine courbe limite Kq.

Il s'agit de faire voir :

1° Qu'à l'origine, c'est-à-dire quand

i-^l=0, i^î^OO

ou quand

fA,>0, li: = 0,

la surface engendrée par les courbes K^ et par la courbe Ko satisfait aux conditions de la définition de la surface S ;

2° Que le long de la courbe Kp, c'est-à-dlrc quand

|i, = o, la, = »,

cette surface satisfait encore à ces conditions.

Hypothèse I. — Supposons donc d'abord que les équations

soient distinctes, ce qui est le cas le plus général. Alors, pour que l'on ait

(3 = (i)i = (D, = ...= &j„=6, = 62 = ...= 6„=o, et par conséquent

o = F = P, = P, = ...= ?„ =X, -(-/), Z = X,-hy7.Z=... = X„ + /)„Z,

il faudra que l'on ait

(a) fi, = |a.= (X3 = . . .= |j.„, = o.

Donc, toutes les fois que ces conditions (a) ne seront pas remplies, on aura.

C\X PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AIX DIFFERENCES PARTIELLES. dz d^ '^^

Ihpollièsc II. — On peut toujours supposer que les parties réelles des quanlilcs À,, ).>, . . ., Aj/, + i sont positives, car on a supposé que, si a, et p,- sont les parties réelle et imaginaire de À,-, les points dont les coordonnées sont a,et 3,- sont d'un même côté dune certaine droite passant par l'origine, c'est-àdire que l'on a, quel que soit /,

A et B étant deux constantes réelles indépendantes de i.

Si les parties réelles des A,- n'étaient pas positives, on multiplierait l'équation F = o par A — /B.

A, , Xn, . . . , )v...„+i deviendraient alors

(A-iB/A,, (A-jB)X,, ..., (A-iB)X,„+„

dont les parties réelles sont

Aa,-l-B^,, Aa,-HB[3,, ..., Aa,„+,-f- B|35„+,,

et sont par conséquent positives.

Cas à examiner.

Le cas où l'on n'a pas

OU bien

ayant été examiné, il nous reste trois cas à considérer :

r p., = a. = . . . =[A„| = o, i^„ = oo; 2" a„ = o; mais on n'a pas à la fois

l'-\ — \^ï — ---= Hn-i = o;

.3° [ji„ est fini et de plus

jx, = ix.= ...= ;i„i = o.

PREMIER CAS

Piappelons de quelle manière on a obtenu l'expression implicite de l'intégrale.

PROPRIÉTÉS BES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES É0rAT:ONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CXXI

Dans les T, on a remplacé z, les x et les p par jj, les 9 et les w, et les T sont devenus égaux à des fonctions i des [a, définies par des équations de la forme

-j-f-t- A5i, ^r-' +■ ..+ A/' <{//-+- Ai;' = o,

où les A sont des fonctions liolomorphes des jjis'annulant avec ces variables. On a ensuite, dans les équations

remplacé les K, par 'li et t par ;jt„, et les T se sont trouvés définis par les équations

( 38 ) Tf + A;;,', i-j-i' Tf -' -+-... -H AV ti(™-')>" T,- + A»'' ^T^' = o.

Il est clair que, si l'on annule [jl,, ou si l'on annule les n — i premiers p sans rendre ijl„ infini, on annule les T, et par conséquent z, les x et les />.

Nous allons d'abord supposer que [/.„ tende vers l'infini en même temps que les autres jj. tendent vers zéro.

Les équations (38) nous donnent une expression implicite de l'intégrale.

Dans les équations, les A sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes des ij., de sorte qu'on peut poser

X = Ki[xÇ'(^^'...H^:lV,

où K, est une constante, pi, p.,, . . ., p„| des nombres entiers. L'équation (38) pourra alors s'écrire

Supposons que l'on fasse le changement de variables

OÙ a,, a^,, . . ., a„i sont des constantes dont les parties réelles sont positives et que l'on déterminera plus loin. L'équation (38) s'écrira alors

où

^- — **i s 2 Sa ■ • ■ -s/i-i et

IXIIII PBOl'UlKTiiS T)KS FONCTIONS DKPINIltS PAH l.ltS K(.H1ATI()N8 AUX DIKKÉRKNCES l'ABTIKLI.KS.

Rl■lllllI■(n^oll^, nue, (liiiis Cfllo expression,

k' K' ••■• TT

sonl réels positifs, tandis (|ue a,, a,,, . . . , a„,, X, sont imaginaires.

On peut toujours ehoisir les quantités a,, a.j, . . ., a„, <le telle façon qu'un ou plusieurs des S soient nuls pendant (pie les autres ont leur partie réelle positive.

En ellVt, posons

a, = /i| a -+- (/i|. a5= /i-a -4- «7,-., ..., x,,-, = /(„ , a -t- fX„.- ,,

X| = r,, -+- j'î;,, X. — 7),-+- jÇ.:, ..., A.jn-i = Tj3„+| -+- t'Ç,,,

Dans ces expressions, h,, h-., . ..,/i„t sonl des quantilés positives et d'ailleurs quelconques, choisies arbitrairement; a et les A sont les inconnues qu'il s'agit de déterminer; les yi et les ^ sont les parties réelles et imaginaires des À.

Dans cliaciinc des écpiulions (38) et dans chacun des coefiicienls \ (|ui y entrent, prenons chacun des termes y et considérons le o correspondant

dont la partie réelle est

Considérons les diverses quantités

(io) '^' ■

p,/i,-i-(Jj/i, + ...-(-P„-,/i„-,'

\\ r m; ces c|uantités ne peuvent devenir plus ^'randes (pie

h étant le plus petit des iiomlncs A,, /u, • • -i /*•»-! ! Tf) étant le |)lus grand des nombres Yj,, t)-.., . . . , '^■jm i ;

ni, étant le plus grand des nombres m correspondant à chacune des équations (.'>8;.

Il j aura donc une ou plusieurs des quantités (4o) qui seront plus grandes que toutes les autres.

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LR8 ÉQUATIONS AUX DII'FÉRRNCKS PARTIE1,I,BS. CXXIII

PREMIER CAS

En général, il n'y en a qu'une. Soient

Pi,o, p2,oi •••! P/i-1,0, Ko, rjo les valeurs correspondantes de

Pi, P:, •■■. P'<, K, •»),;

on posera

K(,Tln

La partie réelle du o correspondant sera

■jT(Pi,ci/ii-f- fi,,o/':^-l-.. •-•- PH-i,o''«-i)a — ■1o= ";

la partie réelle des autres «5 sera

(40 ■^(P,A|-t-p5Aj + ...4-P„^, An ,)« — ■'„•,

et elle sera positive, puisque

KuTlo ..^ Kr)/

Quant aux quantités A,, Aj, . . ., A„|, on les assujettira à la condition

•^(Pi,o*]-<- pî.o^'ï ^...-1- P«-i,oA«-,) — Ço=o,

i^o étant la partie imaginaire du X dont -fi,, est la partie réelle.

Alors tous les S ont leur partie réelle positive, excepté celui qui correspond à [il 0, p-..,o, • • • , fln-1,0, ri„ + /!^„, et qui est nul.

Si donc on liiil la substitution {^tj) dans les équations (iH), ces équations prennent la forme

(38 bis) o = Tr-4- Ç^'Tf-' A}^, +. . .-(- T,-A'("Çli"-'l>'+ Ai''>çr',

où les A' sont liolomorphes par ruj)port à ;.j, Çj, . . ., 5n-t et à diverses puissances de y, dont les exposants ont leurs parties réelles positives.

De plus, dans l'une au moins des équations (38 bis), l'un au moins des A' ne s'annule pas avec v, quels que soient les ^.

CXXIV PROPUIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAB LES ÉOUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.

DEUXIÈME CAS

Plusieurs des quantités (4o) sont égales entre elles et plus grandes que toutes les autres.

Si le nombre de ces quantités n'est pas supérieur an — i , il n'y aura pas de difficulté; mais, quel qu'il soit d'ailleurs, on pourra tourner la difficulté, comme on va le voir.

Egalons encore a à ce nombre positif, qui est égal à plusieurs des quantités (4o) et plus grand que toutes les autres. L'expression (4') sera encore nulle pour les 2 qui correspondent à une quantité (4o) égale à a, positive pour tous les autres. On posera encore

(42) i(P,A-,-Hp,A-,-t-...-r-p„,;;-„,)-0=0,

où Ion donnera aux |i et à î^; les valeurs qui correspondent aux S dont on vient d'annuler la partie réelle.

Si le nombre des équations (42) est

< n — I ou = n — i,

on pourra choisir les k de façon à satisfaire à ces équations, et, comme dans le cas précédent, les équations (38) seront ramenées à la forme (38 bis). Si le nombre des équations (42) est

on ne pourra plus choisir les k de cette manière, mais on pourra le faire de telle sorte que tous les 0 aient leurs parties imaginaires positives, excepté un nombre fini d'entre eux, que tous ceux dont la partie réelle est déjà nulle aient leur partie imaginaire positive, excepté un ou plusieurs dont la partie imaginaire devra être nulle.

En effet, soit par exemple

/(, = A-, = . . .= kn^,.

La partie imaginaire d'un 5 s'écrit

Considérons d'abord ceux des 0 dont la partie réelle est déjà nulle; pour l'un au moins d'entre eux, i^,- est positif, sans quoi on changerait ^ — i en — ^' — i ;

PROPRIETES DES FONCTIONS DEFINIES PAR LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. CXXV

donc, pour A", = o, toutes les expressions (42 bis) ne sont pas positives : pour A'i positif et très grand, elles le sont toutes. On pourra donc choisir A, positif de telle sorte qu'il annule une ou plusieurs des expressions (42 bis) en laissant les autres positives.

Considérons maintenant ceux des 0 dont la partie réelle est positive ; il n'y en aura qu'un nombre fini pour lesquels

^ le plus giartd des !;,x le plus grand des K

et, par conséquent, dont la partie imaginaire peut être nulle ou négative. Tous les autres S auront leur partie imaginaire positive. Posons maintenant

V = vj-'*.

Dans ce cas, les équations (38) s'écrivent

où

Oi = (i — ib)à;

si 0 = £ + t£|,

81 = (e + 6e,) -I- i(£i — bs).

1° Pour un nombre fini des quantités S,

£=£1 = 0; alors

£ -h èî, = o, £1 — 6e = o, 3, = o.

2° Pour un nombre fini des quantités 0,

£i = o, £i>o; alors

E + èe, > o, si b^ o.

Z" Pour un nombre fini des quantités S,

E>o, ei<o; on pourra alors toujours choisir b positif et assez petit pour que

4" Pour un nombre fini ou infini des quantités 3,

si è >o,

i-h bii> o.

CWVI l'ROPRIÉTKS DBS FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFKÉKBNCES PARTIELLES.

En résume, lous les o, ont leur partie réelle positive, excepté un ou plusieurs qui sont nuls. Les équaliuns (38) prennent donc encore ici la forme (38 bis), c'est-ù-dire que les T sont fonctions algébroïdes de Ço, ?j, . . . , Çn-i, de diverses puissances de |„ et de y,, dont les exposants ont leur partie réelle positive, et que tous les T ne s'annulent pas, <iuelsque soient les $, quand v, s'annule.