CAS GÉNÉRAL
Dans les deux cas qu'on vient d'examiner, les équations (38) ont été ramenées aux équations (38 bis). En résolvant ces équations (38 bis) par rapport aux x, à s et aux p, on trouvera
Ces équations donnent l'expression implicite de l'intégrale, pourvu que l'on n'ait pas
(j:, = (Jt,= . ..= [JL„-, = o OU lin=0,
c'est-à-dire pourvu que
Les équations (38 bis) montrent que, quand les ^ tendent d'une certaine manière vers certaines valeurs différentes de zéro,
pendant que y tend d'une certaine manière vers zéro, les T tendent vers certaines valeurs finies et différentes de zéro,
Tj^o, 1 2,0, •■•) tjn-^i.Oi
et que, par conséquent, z, les x et les jj tendent vers certaines valeurs finies et différentes de zéro,
2oi *^l,Oi ^2,0, •••! ^n^Qi /'l.o, /'s.O, ■••» Pn,0'
Ces valeurs satisfont évidemment à l'équation
'''(so, a;,,o, ^:,oi ■ • ■■, -^n,», P\,i>, P-'.o-, • • • , /'«.o) = "i
car F est une fonction continue de z, des x et desp, et l'on a vu qu'on pouvait satisfaire à l'équation F = o en donnant à ces variables des valeurs aussi voisines que l'on veut de
^D, ^i,0, 372,01 •••! ^n,0, /'l.O. 7*2,0, ■••, Pn,0-
PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. CXXVII
Il reste à faire voir que, pour
X\ ^ .^1 ,0' ^^ ^^ ^^,<ii • • • » ^/i ^^ ^n,Oi
on a
dz dz dz
d^,^P'' rf^=^' d^„-''"'
ou que l'on peut prendre v et les ^ assez voisins de leurs limites pour que
3 — -o = (ar, — a?,o)(/'i,o+E,) + (x.— X.,,0 )(/-)•., 0-^-^2 ) + • .• + (^n— ^«,0 )(/*//. u+ En),
où les modules de e,, e.., . . . , £„ sonl aussi petits que l'on veut.
Or on a
dz dz dz
toutes les fois que
^'=Z^' f''-=d^,' ■••' ''"- dx„
Considérons un instant v, Ç.,, ^3, .... ;„ comme des fonctions holomorphes quelconques d'une variable / qui tendent vers
O, Çî.U, Çs.Oj • • •) $«.0
quand t tend vers zéro.
Remarque. — Remarquons qu'on peut toujours supposer que, pour / = o,
dz dx, d.r, dx„
dt' ih' "dt' ■■■' ~dr
ne tendent pas vers l'infini.
En eflel, un des T est donné par l'équation
où les A sonl des fonctions holomorphes de diverses puissances de t dont les exposants ont leurs parties réelles positives. Si To est la valeur de T pour t = o, on aura
(T-T„)'"+B,„.,(T-T„)"'-' + ..,+ B,(T-T„) + no=o,
où les B sonl de même forme que les A.
Soit <''l°'k+'f'K) celle des puissances de t qui entre dans le développement de B,„K et dont la partie réelle est la plus petite. Si tous les % sonl plus grands que I, tend vers zéro quand t tend vers zéro; or on peut toujours supposer que tous les a^ sont plus grands que i , car, si cela n'était pas , on poserait
CXXVIII PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.
)> étant un nombre plus grand que tous les -jt. et Ton aurait
OÙ )>aK > I .
Donc on peut toujours supposer que pour tout / ^ o on a
dT
—r- = o, dt
et par conséquent
dz dx^ dx^ dxn
"dt ^ 'dt ^ ~dt ~dt~'°' C.Q.F.D.
Cela posé, soient ï, une valeur quelconque de /; -i, Xfi, x.,:,, . . ., .r„| les valeurs correspondantes de z et des x ; on aura
■-jy'{
dx, dx- dx^
Cette intégrale existe, puisque les quantités sous le signe /"restent finies. Or on peut prendre /| assez petit pour que />,, p.. . . .^ pn soient aussi voisins qu'on voudra dey;, o, />2.o, • • • » /'« o- Donc
-i--o=f /" rf;-^' j (/>,,o-+-E, )+...+ ( I" rf^-^ j(/;„,o+£«),
les modules des e étant aussi petits que l'on voudra, c'est-à-dire
DEUXIÈME CAS
p., , |j..2, . . . , tjL„| ne sont pas nuls à la fois, ([ji.„ =: o).
Dans ce cas, les équations (38) démontrent que les T s'annulent, et par conséquent aussi z^ les x et les/». Je dis que l'on a en même temps
dz dz dz
r/xi f/ar. " ' ' dx^
Pour cela, il faut faire voir que, quels que soient les n — \ premiers [x, on peut prendre [i.„ assez petit pour que
où mod. Çi <; E|, mod. ^^ <[ Eo, . . . , mod. ç„ <^ e„, e,, Eo) •••)£« étant aussi
PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR I.ES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES PA11TIEI.I.ES. CXXIX
petits ([lie l'on veut. Or on a
Z"^'" , I dz dx, dz rf.r, dz dx„\
J^^ ' \dx^ d\Xn dx« d\i.,i dx„ d\x„ j
ou, puisque, toutes les fois que [j.„(i,
dz dz dz
d'où
z = / dx„ y i>i
Or, on aura pu prendre ;j.„ „ assez petit pour (jue, v.„ variant depuis zéro jusqu'à ;j.„ 0 (de manière que son point représentatif décrive une lit;ne droite), (Ml ait
Dans ce cas, on aura
/• r'"" ax ,
j d'j.„p,— — =t,x, f morl. ', < £, ),
d'où
; = Si;,a:,. c. Q. F. I).
TROISIÈMIÎ CAS.
|J.| = ji, = . . . = ;j.„, = o, |J.„ "■ 30.
En ce cas, les T sont nuls, ainsi que les x, ; et les />; je dis que
dz dz dz
■ dxy dxn dx,i
En effcl, il suffit de faire la substitution (3g) pour être ramené au cas jirécédenl.
Remarque. — La démonstration précédente (deuxième cas) suppose que -7—^. — — -, ■■■■ -j-^ sont finis. Or on peut toujours le supposer, ainsi qu'on l'a vu pour le premier cas.
( *) Voir la ceniarque au bas île la page.
