SUR LES COURBES DÉFINIES

UNE ÉOUATIOIV DlFlEKHNTIEI.I.i: ''

Comptes rendus de l'Acadcntie des Scieiiees, l. 9(1. p. 673-675 (2'| avril it-So).

Ce Mémoire a pour bul I'cIlkIc gcoiiiLlriijuc des combes (leliuies par une équalion difierenlielle de la forme

t/x dv

où \ et \ sont fies polynômes entiers en .r et r.

A(in iFévitcr les diffieullés ([ue présenterait l'étude des luaiulies inlinies, j'appelle le point (^•,»v)^ nnn pas le point dont l'ordonnée et l'abscisse dans un plan sonl j' et x^ mais la projection gnomonicpie de ce point sur la sphère. De cette façon, à nn système de valeurs de x cl dey correspondent deux points de la sphère diamétralement opposés.

Avant d'étudier ces courbes (que j'appelle caracléiistùjucs) dans toute rétendue de la sphère, j'ai dû nalurelh nient rappeler les résultais auxcpiels a déjà conduit leur élude dans une région restreinte de la sphère. On voit ainsi : 1° que, par tous les points de la sphère, sauf par certains points singuliers, passe une caractéristique et une seule; 2" que, par certains points singuliers, passent deux points caractéristiques; H" que, par d'autres points singuliers, passent une infinité de cararlèiistlques ; '\° enlin, qu'une troisième sorte de points singuliers est telle, que les caractéristiques voisines tournent comme des spirales autour de ces points sans (piaucune d"<'lles aille y j)assei'. .) appelle ces

(') Celle Note est l'e.\liail, rédige par Henri Poincarc d'u Mé!iiuire iju'il avait prcsenlé. H. P. — I. !

a SIR LES COlllBES DKFIMES l'Ai» INE EQUATIdN IIIFFKIIENTIEI.LE.

trois sortes de points singuliers les cols^ les no'iuls et les Joye?:<< de réfjiiiilion donnée.

Envisageant la distrilmllcm «le res points singuliers sur la splirre, je démontre que le nombre des nœuds el des fuvers surpasse de deux le nombre des eols.

Après avoir démontré divers autres théorèmes, dont Fénoncé ne peut trouver place dans ce résumé, j'aborde Tèlude des courbes dans toute lètendue de la sphère, et j'arrive au résultat suivant : la sphère est sillonnée par une série de courbes: fermées (elle : i"quc parles points ordinaires passe une de ces courbes fermées et une seule; 2° caie chaque col soit un point double d'une courbe fermée; 3° quepar lesncruds et les fovers ne passe aucune de ces courbes fermées. Parmi ces courbes fermées, les unes ne sont pas do caiactéristiqueset ne touchent une caractéristique en aucun point : je les appelle cycles sans contact; les autres sont des caractéristiques : je les appelle cycles limites, parce qu'elles sont asymptotes aux caractéristiques voisines.

Aucun cycle sans contact ne rencontic une caractèiislicpie en jilus d'un point. La connaissance du système des cycles sans contact et des cych's limites fournirait une idée complète de la form»^ gèomètri(jue des caractéristiques, ,1e donne d'abord des exemples de cas m"i l'équation de ce système est exprimable en termes finis; mais, comme cela n'a pas lieu en général, je dois avoir recours à un autre procédé. De même que, faute de pouvoir exprimer les racines d'une équation en nombres commensurables, on les sépare et on les resserre ensuite dans des limites de plus en plus étroites, je cherche à diviser la s])iièic en régions acycliques, que ne traverse aucun cycle limite, et en régions inonocycli(/ues. aussi restreintes que possible, cpii contiennent un cycle limite tout entier et n'en contiennent qu'un. Je donne une méthode générale pcnir arriver à ce résultat, et trois applications de cette méthode.

Les résultats qui sont rapportés dans ce lèsumé se ra|)porteut au cas le plus général; mais j'ai dû examiner, dans le Méuiolre, dill'èrents cas exceptionnels, sans pouvoir pourtant envisager tous ceux (|ui se présentent.