LES COURBES DÉFINIES

UNE ÉOUATION DIFFÉRENTIEI.Ï.E

Journal de Mathématiques, 3" série, l. 7, p. 37.5-422 (1881) et t. 8, p. 251-296 (1882).

Une théorie complète des lonclidiis tiélinics par les cqualions cliderenlielles serait d'une grande utilité dans un f;rand nombre de questions de Mathématiques pures ou de Mécanique. Malheureusement, il est évident que, dans la grande généralité des cas qui se présentent, on ne peut intégrer ces équations à l'aide des fonctions déjà connues, par exemple à l'aide des fonctions définies par les quadratures. Si l'on voulait donc se restreindre aux cas que l'on peut étudier avec des intégrales définies ou indéfinies, le champ de nos recherches serait singulièrement diminué, et l'immense majorité des questions qui se présentent dans les applications dciiii iircralcnl insolubles.

Il est donc nécessaiie d'étudier 1rs lunctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algéiniques, qu'on avait cherché à ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait pour les intégrales de diderentielles algébriques, qu'on s'est elTorcé longtenqjs d'exprimer en termes finis.

Rechercher quelles sont les |ir()|)riétés des équations différentielles est donc une question du plus haut intérêt. On a déjà fait un premier pas dans cette voie en étudiant la fonction proposée dnii.s lu voisinage cV un des points du plan. 11 s'agit aujourd'hui d'aller plus loin et d'étudier cette fonction dans toute

1 MÉMOIRR Sin LES COimniJS DKFIMIS par CM" i:0l'ATIO\ nUFÉBENTIRLI.E.

/ élcitituc lia plan. Dans colle rccluMclir, noire |joint de départ sera évidemment ce qne l'on sali déjà de la t'onclion étudiée dans une certaine région du plan.