PREMIÈRE PARTIE. — ÉQLATIONS DIFFÉRENTIELLES. VII

équations au point de vue de la théorie des fonctions, ne saurait suffire à lui seul si l'on veut appliquer les équations différentielles, par exemple, à des questions de Mécanique ou de Physique. Nos développements ne nous apprendraient pas, à moins d'un travail considérable, si par exemple la fonction va constamment en croissant, ou si elle oscille entre certaines limites, si elle peut croître au delà de toute limite, . . . En d'autres termes, si l'on considère la fonction comme définissant une courbe plane, on ne saurait pas quelle est la forme générale de cette courbe. Dans certaines applications, toutes ces questions ont autant d'importance cjue le calcul numérique, et il y avait là un nouveau problème à résoudre.

Dans les paragraphes qui vont suivre, je vais exposer les efforts que j'ai faits pour trouver la solution de ces deux problèmes.

II. - Fonctions fuchsiennes (6, 9, 11, 13, 1.5, 16. 17, 18, lî», 22, 2a, id, 27, 28, :iO, 3i, 30, .37, 59, 61, 6.5, 66, 68, 69. 70, 101, 104, 174, 191, 197).

Désirant, coiniue je l'ai expliqué plus haut, exprimer les intégrales des équations différentielles à l'aide de séries toujours convergentes, j'étais naturellement conduit à m'attaquer d'abord aux équations linéaires. Ces équations, en effet, qui ont été dans ces derniers temps l'objet des travaux de MM. Fuchs, Thomé, Frobenius, Schvvarz, Klein et Halphen, étaient les mieux connues de toutes; on possédait depuis longtemps les développements de leurs intégrales dans le voisinage d'un point donné et, dans un assez grand nombre de cas, on était parvenu à les intégrer complètement à l'aide des fonctions anciennement connues. C'était donc en abordant leur étude que j'avais le plus de chances d'arriver à un résultat.

Mais il était nécessaire de plus de faire une hypothèse au sujet des coefficients des équations que je voulais étudier. Si j'avais pris, en effet, pour coefficients des fondions quelconques, j'aurais obtenu également pour les intégrales des fonctions quelconques et, par conséquent, je n'aurais pu dire quelque chose de précis au sujet de la nature de ces intégrales, ce qui était mon but. J'étais donc conduit à examiner les équations linéaires à coefficients rationnels et algébriques. Je supposerai, pour simplifier un peu l'exposé qui va suivre, que les coefficients sont rationnels.

Voici maintenant la classification que j'ai adoptée pour ces équations linéaires

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VIII ANALYSE DES TIIAVAUX SCIENTIFIOUER DE HENRI POINCARÉ FAITE PAR LUI-MEME.

et qui est la jilus naturelle au point de vue du problème que nous voulons résoudre (28, 70). Soit •/ une intégrale d'une équation linéaire d'ordre n à coefficients rationnels. Posons

À et les F étant des ronctions rationnelles de x. Il est clair que z satisfera comme y à une équation linéaire d'ordre n à coefficients rationnels. Je dirai que ces deux équations appartiennent à la même famille. On voit aisément, en effet, que la connaissance des propriétés de la fonction y entraîne celle des propriétés de la fonction z.

Il y a dans chaque famille une infinité d'équations différentes, mais certaines fonctions des coefficients ont même valeur pour les équations d'une même famille: en d'autres termes, il y a, comme je l'ai montré dans ma Note du 22 mai 18S2, des im'ariants qui demeurent inaltérés par la substitution représentée par l'équation (5). Ces invariants ne sont pas les mêmes que ceux de M. Halphen. Ce savant géomètre envisage la transformation qui consiste à remplacer x par une fonction quelconque de x' et à multiplier y par une autre fonction quelconque de x'. Au contraire, les fonctions qui entrent dans ma substitution (5) ne sont pas quelconques, mais rationnelles. Rien ne saurait mieux faire comprendre la différence du point de vue de M. Halphen et du mien. M. Halphen cherche avant tout des relations entre diverses intégrales, et il peut impunément introduire dans ses calculs des fonctions quelconques; au contraire, mon but étant d'étudier la nature de l'intégrale elle-même, cette nature serait évidemment altérée, si je multipliais l'intégrale par une fonction quelconque, comme le fait M. Halphen.

Mais cette étude intime de la nature des fonctions intégrailes ne peut se faire que par l'Introduction de transcendantes nouvelles, dont je vais maintenant dire quelques mots. Ces transcendantes ont une grande analogie avec les fonctions elliptiques, et l'on ne doit pas s'en étonner, car si j'imaginais ces fonctions nouvelles, c'était afin de faire pour les équations différentielles linéaires ce qu'on avait fait à l'aide des séries 0 elliptiques et abéliennes, pour les intégrales des différentielles algébriques.

C'est donc l'analogie avec les fonctions elliptiques qui m'a servi de guide dans toutes mes recherches. Les fonctions elliptiques sont des fonctions uniformes qui ne sont pas altérées quand on augmente la variable de certaines