élude complète dune fonction compi-end deux parties

i" Partie i|iiaiilative (pour ainsi dire'i, ou étude géométrique de la courbe délinic par la ronction ;

2" l'arlie (|uaiililali\e, ou calcul nMiiiéri(pic des valeurs de la l'onction.

Ainsi, par exemple, pour étudier une écjualion alt;él>ii(pie, on commence pai- rcclierclier, à l'aide du lliéoréme de Sluiin, quel est le nombre des racines réelles, c'est la partie qualitative, puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même, pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de Matbémalicpies spéciales, c'est-à-dire qu'on cherclie quelles sont les branches de courbes fermées, les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe, on peut en déterminer exactement un certain nombre de points.

C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'est pourtpioi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant :

Construire les courbes définies par des équations différentielles.

Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction et elle y conduira d'autant plus facilement que l'on connaît déjà des séries convergentes qui représentent la fonction cherchée dans une certaine région du plan, et que la principale difficulté qui se présente est de. trouver un guide sûr pour passer d'une région où la l'onction est représentée par une série à une autre région du plan où elle est ex|jrimable |)ar une série différente.

D'ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt du premier ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de Mécanique peuvent en cfF'el s'y ramener. Prenons pour exemple le problème des trois corps : ne peut-i>n ])as se rlcmandei- si l'uu des corps restera toujours dans une certaine région du ciel ou iiien s il pouira s'éloigner indéfiniment; si la distance de deux des corps augmenliTa, ou (Jiuiinueia à l'inlini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites".' i\e peiil-on pas se i)oser mille questions de ce

MKMOIRE SUR LES COlRnES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFERENTIELLE. 'i

genre qui seront toutes résolues quand on saura construire qualitativement les trajectoires des trois corps? El si l'on considère un nombre plus grand de corps, qu'est-ce que la question de rin\ariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable question de Géométrie qualitative, puisque, faire voir que le grand axe n'a pas de variations séculaires, c'est montrer qu'il oscille constamment entre certaines limites ?

Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. Je n'ai pas eu la prétention de le parcourir tout entier, mais j'ai voulu du moins en franchir les frontières, et je me suis restreint à un cas très particulier, celui qui se présente d'abord loiil nalurcUcineut, c'est-à-dire à l'étutie des éipiatums différentielles du premier ordre et du premier degré.

Dans ce qui va suivre, je considère les courbes définies par une équation de

la forme

dx dy