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où X et Y sont deux |)oljnomcs entiers en x et en}-. Ces courbes, je les appelle des caractéristiques.

Si l'on considère les deux portions d'une même caractéristique qui se trouvent de part et d'autre d'un de ses points, on aura divisé cette caractéristique, à moins qu'elle ne soit une courbe fermée, en deux denii-caracléristiq ues distinctes. Ces deux demi-caractéristiques joueront, dans ce qui va suivre, un rôle de quelque importance. Par exemple, supposons que la caractéristique soit la

spirale logarithmique

on pourra la diviser en deux demi-caractéristiques, comprenant, la première, tous ceux de ses points pour lesquels

la seconde, tous les points pour lesquels

Afin d'éviter les difficultés que pourrait présenter l'étude des branches infinies, nous supposerons que les courbes sont projetées gnomoniquement sur une sphère. Soient un plan P, et un point quelconque (.r, r) dans ce plan ; si l'on considère une sphère quelconque divisée en deux hémisphères par un plan parallèle au plan P et que nous appellerons plan de Véquateur ; si l'on joint

f> MHMOIHK SI H l.KS ( OIIIIIKS luiriMKS PAIl IINK ÉQUVTION Diri'lillENTIEI.I.K.

If fiMitrc (le la >|ili(ic an |i(iiiil (^o:, )), la ilroili', ainsi iléUTiiiincc, L'ou|)Lra la split-re fil lieux |)iiiiil> dianuli-alf ment opposés; nous appellerons (:r,)', i) celui qui esl siliif dans !<• piiini( r li(-inis[)lif re , (j, }', 2) «l'Iiii (pii esl situé dans le second hémis|)lif if .

Toute ligne droite du plan P se projettera, sur la sphère suivant un grand cercle. Aussi, quand nous parlerons de la tangente en un point à la caractéristirpie. il s'agiia de l'are de grand cercle qui touclie la caractéristique en ce point.

Tout gland cercle coupe léquateur en deux ])oinls lo, el (o^ ; Fangic de direction du grand cercle qui passe par les points diamétralement opposés (o, et ojj sera l'ai-e eumpris entre (•), et un point fixe de l'équateur. Le coefficient angulaire sera la tangente de l'angle de direction.

Enfin, les points d'inllexion d'une caractéristique seront les points où elle esl osculatrice à un grand cercle.

11 esl évident que, dans ces conditions, si l'on excejile quelques points singuliers, par tous les points île la s]>lièi'e passe une caraclérislique et une seule, el le coefficienl angulaire de la tangente esl donné par l'équation

D'ailleurs, tout esl symétrique par rapport au centre de la sphère.