CHAPITRE I

DÉFINITIONS ET GÉNÉRALIIÉS.

Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de donner certaines définitions el certains théorèmes généraux qui seront d'un grand secours dans l'étude qualitative des courbes sphériques.

Considérons d'abord des courbes sphériques ne présentant ni point double, ni point d'arrêt.

Nous appellerons cycle sf)lirri(jiir une courbe telle qu'ajirés en avoir parcouru un arc fini, on revienne an pinnl de dèpaii : par exemple, un petit ou un grand cercle.

MËMOIHE SUR LES COIJIIBES DEFINIES PAR UNE EQUATION DIFFI.HENTIELLE. '

Nous appellerons spirale sphériqiie une courbe qui coupe un cycle sphérique en un seul point, par exemple la loxodromie, qui coupe les parallèles en un seul point.

Un cycle sphérique divise la >urla(<- de la sphère en deux réf;ioiis que nous appellerons, l'une, V intérieur du cycle; l'autre, Yexlérieur; on ne peut passer de l'une à l'autre sans cou[icr le cycle.

Si l'on joint deux points d'une caractéristique par un arc de courbe quelconque qui n'ait avec la caractèristiipie d'autre point commun que ses deux extrémités, l'arc de courbe et l'arc de caracléi-istique compris entre les deux points formeront. |uir leur ensemble, \\\\ cvcle sphérique. Par exemple, si l'on juiiil par nu arc de i;rand cercle les dcu\ c\lièniilès d'un arc de petit ceiclc, ces deux arcs lormcront un cvcle Icrmè.

Mais il peut se préseiil(M' deux cas.

Premier cas. — I^es deux InaiK hes <le courbes formées par la caractéristiipie, prolon;;c<' au delà (h's deux pc)iiiK(pir Ton a réunis par un ai'c de coui'be quelconqu<', sont imiles deux iiilcricii rrs du liiiiles deux extérieures au cycle formé par les deux arcs.

Dans ce cas, iKuis dirons tpie lare de courbe soiis-teiid lare de caiactérislique.

C'est ce qui arri\e, par exemple, <laiis les cas des deux extrémités d'un arc (b' ]Htil cercle réunies par nii arc de i;rand cercle.

Deuxième cas. — Les deux branches de courbes formées par la caractéristique, prolongée au delà des deux points qu'on a réunis par un arc de courbe quelconque, sont, l'une intérieure, l'autre extérieure au cycle formé par les deux arcs.

Dans ce cas, nous tbioiis (jiic lare de courbe sui'-tend l'arc de caractéristique.

Supposons, par exemple, que la caractéristique soit une loxodromie; elle coupera un méridien quelconque en une inlinité de points. Considérons parmi ces points d'intersection deux points consécutifs et concevons qu'on les joiijnc d'une part par un arc de joxndi-oinie, cl'autre part par un arc de méridien, l'arc de méridien sur-tendra l'ai'c de luxodroiuie.

De la dèlinition même des cmIcs un peut liicr immcdialemenl les résultats sui\anlb :

s MKMOIKE SI II I.KS COURBRS DF.KIMES PAU l'Nli KyiATlON ni FKKIlKrSTIKI.LE.

i" Deux ryck's se roiipcut on un nonihro pair (lu iiidni de [)i)inU; 2" Toute courbe algébrique se compose il'un ou plusieurs cycles; 3° Toute courbe algébrique coupe un cycle quelconque en un nombre pair ou infini de points.

TnÉouii.ME I. — Si l'on iïci>ise une. caracléristi(jne^ (jui n'offre ni point double, ni point d'arrêt, en deux demi-caracléristiqucs. si l'une de ces (lemi-caractéi istiques ne cçu/te aucun des cycles (dgébriques <jucn un nombre fini de puinls, la caraclérislic/ue donnée est un cycle.

En ellet, consiruisons une coiiibc |ilanc C délînie de la manière suivante : l'abscisse d un point 3, ipielconi[iii' de la coiirlicC. st la larr de la caractéristitpie, compté depuis un point llxe a„ justjuà un |ioint a, coirespondant à pi, et l.ordonnée <!<' p, sera l'angle de diirdion (\i' la tangente à la caractéristique au point a,.

1° A un point j, de la <durl)c tj (dricspoiid toii|oui's un point y., et un seul de la caracléristiipie ;

2" La caractéristique n'ayant pas de point d'arrêt, la courbe C n'en aiiia pas non plus;

3" A un point a, de la caraclérisliijue correspond : ou un point ,3, de la courljc C,

la caracléristiipie n'est pas un cycle; ou une infinité de points [3/ si la caracléristique est un cycle;

4° La courbe C ne coupe qu'en un |)oint les droites parallèles à l'axe des^;

5° A lime des dinii-earaetèristiques coirespond la partie de la coiirl)c C située à droite de l'axe des j)'; à l'autre, la partie située à gauclic de cet axe. Nous supposerons, j)our fixer les idées, (pie la demi-caractéristique qui, d'après bypolhèse, ne coupe aucun c\cle algébrique qu'en un nombre fini de points est celle qui correspond à la demi-courbe C, située à droite de l'axe des y.

Première hypothèse. — 11 y a sur la demi-courbe C une infinité de jioints p, correspondant à des points a, situés sur l'équaleiir.

Comme, par liypotliése, la demi-caraelei istiqiie roiisKiérce ne (diipc 1 cquateiir

qui est un cycle algébrique) ipi'en 1111 iioiiiluc Uni de points, il n'y a qu'un

nombre fini de pomls a, soi' I éipialciir. Il laiil donc qii à un point a, corres-

ijondciil un noiiiliic iiiliiii de points [i/, c'esl-à-dirc ipic la carartéiistique suil

un cycle.

Mli.MOIFtF, SUn LKS rOURBliS DÉFINIES PAR tlNE KQVATION DIFFÉRENTIELLE. 9

Deuxième hypothèse. — II y a sur la demi-courbe C une infinité de points ^ où la tangente à la courbe C est parallèle à l'axe des x.

C'est dire qu'il j a une infinité de points p,- correspondant à des points a/, qui sont des points d'inflexion de la caractéristique. Or le lieu des points d'inflexion des caractéristiques est une courbe algébrique; donc, par suite de Ihypothèse faite dans l'énoncé du théorème, il y a seulement un nombre fini de points d'inflexion à la caractéristicjue donnée. Il faut donc encore qu'à un point a,- corresponde une infinité de points p,-, c'est-à-dire que la caractéristique soit un cycle.

Si l'on sujjpose qu'aucune des hy|iolhèses 1 et 2 ne sont remplies, quand l'abscisse du point p, sera plus grande qu'une certaine valeur Xq, ce point correspondra à un point a,, qui sera toujours dans un même hémisphère, dans le premier liéniisphère par exemple, et l'ordonnée de jî, ira toujours en décroissant ou toujours en croissant, toujours en croissant par exemple. On se trouve donc en présence d un troisième cas (pu ((iniiKirle hu-même deux hypothèses.

Troisième hypothèse. — Ouand ,r varie depuis Xa jusqu'à l'infini, l'ordonnée de p/, c'est-à-dire l'angle de direction de la tangente à la caractéristique, va toujours en croissant, niais en restant plus jiclit cpi'une cpiantilé donnée.

Fis. I.

Soient

^, le )ioint de la courbe C dont l'abscisse est x^', a, le point correspondant de la caractéristique; a|W| la tangente à la caractéristique en a, ; o), le point où a|(o, rencontre l'équateur;

a,- un point quelconque de la caractéristique correspondant à un point j3, situé à droite de p, ;

10 MKMOIRK Sln T.KS ClH'linKS DEFINIKS l',VI\ I Ni: KOIATION DlFFICniîMIKI.Llî.

a,(i>, la liiiiiiiiili' iMi (T ptmit:

w,- le point où rcllo lau^enlo ronconlic réqiiaUHir.

(^iiaml a, >"avaui'era sur la (aiaclérlstiijuo, w/st' déplaeei-a vers la droite, mais en restant luu jouis sur l'arc (réqualeur (o, Wj (' ) ; la (Icnii-caractcristique a, a,, qui ni' prut lianiliii' ré([ualeiir, est convexi' |)ar livpotlièse, et tout entière comprise dans le iriani^lc spliéiique a,(i)|tu^, c"esl-à-dir<; (pic sa longueur curviligne reste toujours plus petite que a, w, + (o, (c)^, c'est-à-dire qu'elle est (Inie, ce (lui est absurde; la troisi(^'me livpollu'se est donc inadmissible.

Quatrième /ly/iol/ièse. — (^)uan(l .r \ arie depuis ./q jusqu'à l'infini, l'ordonné* du point pi, c'est-à-dire Tantale de direction de la tangente à la caractéristique, va toujours en croissant jusqu'à l'infini.

C'est-à-dire que l'angle de direction de la tangente à la caract('Mislique peut

prendre loiilcs les \aleurs

où l'o est une constante donnée et n un nombre positif entier quelconque. C'est dire que la tangente de l'angle de direction, c'est-à-dire le coefficient angulaire de la tangente à la caractéristique, est égale à

pour un nombre infini de points |j/ difTércnts.

Or le lieu des points où le coefficient angulaire de la tangente à la caractéristique est égal à tangj'o est une courbe algébrique qui ne peut, d'après l'hypotlièse, rencontrer la demi-caractéristique cju'en un nombre fini de points a,-.

11 faut donc, encore ici, qu'à un point a, correspondent une infinité de points ^,-, c'est-à-dire que la caractéristique donnée soit un cycle.

En résumé, des quatre lijpotliéses que l'on peut faire, la première, la deuxième et la quatrième conduisent à ce résultat, que la caractéristique est un cvcle; la troisième est inadmissible.

Le théorème est donc démontré.

Définition. — Nous appellerons polycycle une courbe fermée comme le cycle, mais |)résentant des points doubles.

Exemple : intersection de la splière avec un cylindre qui lui est tangent en un point.

(') Actuellement, (.), désigne l'une des extreuiilés d'un certain aie d'équateur w, u,,. i|ui, en venu de la troisième liypollièse, comprend tous les points w,. (R. G )

MEMOIRE SUR LES COURBES DEFINIES PAR UNE EQUATION DIFFERENTIELLE. I I

Système topogvaphique. — Si l'on trace sur la sphère un système de cycles et de polycjcles, tel que par cliacun des points de la sphère passe un cycle ou un polycycle, et un seul, excepté en queUpies points singuliers par lesquels ne passe aucun cycle, nous dirons que ce système de cycles est un système lopo- S'f'aphif/ue, parce qu'il est analogue au système des courbes de niveau d'un terrain.

Les |)olnts douljles des polycycles sont alors analogues auxco/^deee terrain, les points singuliers par Ies(piels ne passe aucun cycle sont analogues au-fi fonds et aux sommets du terrain ; de sorte que nous appellerons res divers points : cols, Joiif/s et sommets du système.

Par exemple, le système des courbes

/(^,7) = const..

où /"rsi un polynôme entier en x el en y, si ces courbes ne coupent pasTctiuatciii-. i-~i lin •-ystème lopographique. Les cols sont les points où l'on a à la fois

dx dy ' \dxdyj da-^ dy'- -^ ' .

les sommets sont les points où Ton a

df df I d'f \2 d''-f d--f d\f

Z r 'liL

dy) dx'-

rl ,- Jv °' \ -7^^,. ) ^^2 ,lil < "' J^2 <°

dx dy ' \dx dy ) dx- dy- ' dx

df df l df y- d--f dH d^f

les fonds sont les [loiiits où l'on

^^ ( 'flf\ .

dr dy "' \dxdy) dx'^ dy^ ^ "' dx'

De nièine, si l'on a entre :, .r et y une relation algébrique

telle que l'on n'ait jamais

et ipie ; ne puisse rester fini et réel (piand x el y sont inlini> et réels, le système

des ((Uirbes

.: = coiisl.

est un système topographiqne. Par exemple, soit

/l-i-^', y) = {z — x)^— zlx-^y^+i) = u;

Il MEMOIRE Sin LES COIRBKS niChlMKS l'\ll l NK KOUAIKlN llIKFIiElEM'lIil.l.K.

-~ ne pcul tlri' mil inu' ^i

co qui ("-t iiii|iii'-'-iIil('.

De plii>, ï'i I lUi i(ia>nlère - eonuiie une eoiisLunle, les lernies iJii de^ré le i)lus élevé séeiivenl

Le lieu des points où chacun des cycles d'un système lopograpliique est tancent à une caractéristique s'appellera la courbe des contacts.

Si le système topograpliicpie est algébrique, lu courbe des contacts sera ellcnièuie une courbe algébrique.

Si Ion con>idère un système topographique et l'un des polvcj'clesdu système correspondant à un do culs du svsièine, une )iarlH' des londs et des sommets est à l'extérieur du piihcyele, une au Ire parlie à l'inlcrieur, de sorte que chaque col distribue d'uiit' certaine manière les londs et les sommets du système.

Deux systèmes topographiques sont analogues lorsqu'ils ont mêmes cols, mêmes fonds, mêmes sommets et que les fonds et les sommets sont distribués p la même manière par les cols.