CHAPITRE II
ÉTUDE DES CARACTÉRISTIOUES DANS LE VOISINAGE u'uN POINT DE LA SI'IIÈIIE.
Avant d'étudier les propriétés des caractéristiques dans toute létenduc de la sphère, il faut rappeler les résultats déjà acquis relativement à l'étude de ces courbes dans une région limitée de la sphère. Les piiueijiaux ihéorèmeN (pii se rapportent à cette élude sont énoncés et démontrés dans divers Mémoires de Cauchy, intitulés Mémoires sur le calcul des limites., et insérés aux lomes XI \', XV cl XVI des Comptes rendus des séances de V .Académie des Sciences cl dans le célèbre Mémoire de A1M. Rriol et Roirquet, inséré dans le tome XXXVI du .Journal de V Ecole Polytechni(iue. .le me suis moi-même occirpè de cet h- rpir'^lioir dans une \iilc inir se Ii(hi\ c dans \v \ L\ '' Calirri- ihi
MÉMOIRE SUR LES COURBES DEFIMES PAR UNE ÉOIATION DIFFÉRENTIELLE. l3
Journal de C Ecole Polytechnique e\. <\a\\-. une Thèse pour le doctorat (jue jai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris ( ' ).
Supposons d'abord que le point autour duquel on veut étudier les caractéristiques soit
X et Y, qui sont des polynômes en x et en )•, peuvent être également considérés comme des polynômes en x — a ety — ^8.
De sorte que
X = a^-\- a\{x — %) ^ a^iy — 3)-f-...,
Y = èo-H 6,(a.- — a) ^ iof^y — |ÎJ +
Premier cas. — Oa et b^ ne soul |ia-~ nuls à la lois; supposons, par ixcinple,
récpialion dillércntielle peut s'écrire
(ly V ,
où y est une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x — a et
Donc, en vertu du théorème démontré par Cauchy {^Comptes rendus., t. Xl\ ), V peut s'exprimer par nue série ordonnée suivant les puissances croissantes de .r — a et se réduisant à ^i pour x =^ a.
Donc, par le point ( a, p ) passe une caractéristupir it une seule.
Deuxième cas. — «„ := bg = o.
Mais a(, «2, ^1 et b^ ne sont pas nuls à la lois.
Le point (a, ,3) est alors un point singulier ordinaire. Commençons par rappeler un théorème relatif à ces points singuliers, théorème que j'ai démontré dans ma Thèse inaugurale.
Si l équation (5) {ai — l)<bi—\)-r>in..= n
a deux racines différentes., A, et t.-, ;
Si le rapport de ces racines est positif ou imaginaire, l'intégrale générale de l'équation
dx dy
(' ) Voir ci; Tome.
l4 MÉMOIRE SfR LES COURBES DKKIMES PAR UNE ÉQI' \TION DIFFÉRENTIELLE.
est (le la forme
OÙ ;, et z-i sont des séries ordonnées stii^-a/it les puissances croissantes de X — a, y — 13 et s^ annulant pour
Supposons que le point ix^y^ se rapjMocIic iiidrdaimonl ilu point (a, [ï), de
telle façon cjuc
1 1 m = [jt ;
le rocflirionl ani;iilaire tic la taniicnle en ce point (.r, j') aura pour liinilc
rtl -H «To -Jt
Donc la limite de la droite tpii joint les points i^x.y) et (^a, ^) et la limite de la taui;entc à la caraclénstKjiic au poml {x,y) forment un faisceau liomoyrapliique.
Les droites doubles de ce faisceau sont données pai' létpiation
[ji(ai + «5 |Ji) = i, -h 62 l-i-
Soient [x, et Uo les deux racines de celte équation; on calculera aisément À, cl Xj en fonctions rationnelles de «,, rt^, 6,, ^o, jA| cl ijlj.
Maintenant on peul diviser le deuxième cas en quatre cas suljinddunes principaux.
Premier cas subordonné. — Les droites douljles du faisceau iiomof;raj)hique sont réelles, et deux droites conjuguées quelconques du faisceau sont ou louies deux dans l'angle aigu formé j)ar les deux droites doubles, ou toutes deux dans langle oljtus.
Dans ce cas, a, cl ).2 sont réels et leur rapport est positif; le lliéorcnie que nous avons raj)j)elé en commençant est donc applicable, et i'inlégrale générale
s'écrit
z'^t s;-'" = corisl.,
OÙ Z|, Zî sont des fonctions réelles de x et àc y s'annulanl pour
penilaiil que /., cl ).j soiil deux uninliics réels positifs.
MEMOmn: sur les COlRnES définies par l ne équation niFFÉREXTIEIXE. I>
II s'ensuit que toutes les caractéristiques vont passer par le point singulier (a, P), pourvu qu'elles pénètrent dans une région de la sphère assez voisine de ce point pour que :;( et Zo soient convergents.
Un [lareil ])oinl singulier s'a|3pellera un nœiul.
Soit, par exemple, à étudier les caractéristiques qui satisfont à l'équation
cl.r dy X ^ -ly
dans le voisinage du jhuiU
L'équalioii générale de ces caractéristiques s'écrira
iii'r /, est une ciuistanli'. Dans le plan, cetle équation représente une série de paraboles ayant même axe et ayant leur sommet à l'origine; sur la sphère, cette même équation représentera les intersections de la sphère avec les cônes, qui ont le centre de la sphère pour sommet et ces paraboles pour base. Toutes ces intersections passent évidemment par le point
Deuxième cas subordonné. — Les droites doubles du faisceau homographique sont réelles; mais deux droites conjuguées du faisceau sont situées de part et d'autre de ces deux droites doubles.
Dans ce cas, ^ est réel et négatif, et le lliéorème dont nous avons |)arlè n'est plus applicable.
Mais MM. Briot et Bouquet ont fait voir, dans un Mémoire inséré au Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXVP Cahier, qu'il passe par le point (a, fi) deux caractéristiques et deux seulement.
Un pareil point singulier s'appellera un col.
Soit, par exemple, à étudier dans le voisinage de l'origine des caractéristiaues définies par l'équation
L'intégrale .générale s'écrit
cl H3S seules caractéristiques qui passent par le point
dx
xy^
const.
I<> MEMOIUE SIR LliS C.OIUIIES llÉl'IMES PAR l'NE ÉQUATION DIFFÉnENTIELI.E.
sont les deux grands cercles
l^roisièine cas siihordoiuie. — Les droites doubles du faisceau homographiqup soûl iiuaginaires, cl ce faisrrau ne se réduit pas à un système de droites t'ii lin iilulKin.
Dans ce cas, Xi et \., sont (lcii\ iiiiai;iiiaires conjuguées cl leur rappoil est imaginaire. Le théorème général s'a])pliqii(î el l'intégrale générale s'écrit
^'f' ^v"'"' = const.,
où ;, cl ;o, À| et Xo scinl imaginaires ((injuguées. Soit
12=5 — tï), >,j— Y| ,-5.
L'intégrale générale s'écrit alors
^^ -^''^ ) [h-^i) =consl
Les courbes ^^+ ti-;= const. (où ^ et y; sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a: — a el y — [3, et s'annulant pour a; = a,y=P) sont évidemment des cycles qui ne se coupent en aucun point et qui forment dans la région voisine du |)(iint (a, |3) un système topographique dont le point (a, ,3) est un sommet.
Or, si l'on remarque que les équations
ne donnent pour ^ et Yi, et par conséquent pour x ely, qu'un seul système de valeurs réelles, on reconnaîtra que les caractéristiques ne coupent les cycles
qu'en un seul poiul el (pie, par conséquent, ces caractéristiques ne sont autre chose que des spirales; un point qui parcourt ces spirales dans un certain sens va en se rapprochant indéfiniment de l'origine.
Un pareil point singulier s'appellera un forer.
Soit, par exemple, l'équation
dx dy
MÉMOIRE Sun LES COURBES DÉFÎMES PAR INE Él^UATION UIFFERENTIELLE. 17
dont l'intégrale générale est
r^ = const.
x—iy)
Si l'on passe aux coordonnées polaires, cette Intégrale devient
p2g-2(o — const.,
ce qui nous donne, dans le plan, une spirale logaritiiniiipic, el, par conséciuenl, sur la sphère, une spirale sphérique.
Quatrième cas subordonné. — Les droites doubles du faisceau honiographique sont imaginaires et ce faisceau se réduit à un syslènie de droites en involution.
Dans ce cas. A, el "/.j sont imaginaires conjuguées, mais leur rapport est égal à — I. Le ihéorème que nous avons rappelé au début n'est donc pas applicable en général.
Ce quatrième cas est plus particulier que les précédents et il ne se présentera pas si X et Y sont les polynontcs les plus généraux de leur degré. Bornonsnous donc à cjuelcjues remarques.
D'abord, il est impossible qu'une branche de caractéristique vienne passer par le point a, ,3, puisque sa tangente devrait être précisément Tune des droites doubles de l'involution qui sont imaginaires.
Mais, d'après ce qu'on verra plus loin, toute caraelérisii(jue est un cycle ou une spirale; donc, ou bien les caractéristiques seront des spirales, el un point qui les ]>arcourrait tournerait autour du point (a, |i) en s'en rapprochant indéfiniment : le point (a, |â) serait alors encore un /oie/-; ouljienles <'aractéristi(jues forment un système topographique dont (a, 3) est un sommet, et alors le point (a, |j) est un centre.
C'est ce qui arrive quand le théorème que nous énoncions au début estappli-
cablc, malgré la valeur négative de r^- En eUel, dans ce cas, l'intégrale sécrit
où
•ss = ? — '^1 :
c'est-à-dire
