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l8 MÉMOIRE SDH LES COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉOl'ATION DIFFÉRENTIELLE.

el les caraclérisli(|iio foriiK-ul t'vùlcmmciil, dans ce ras, un sysli^'inc lopogra-

phiquc de cycles.

Par exemple, réqiialioii

d.E dy

a pour inlft;ralc j;éiR'ralc

Cas piirliiiilii'is laisses (l(; calé. — Dans ce qui prccèdo, ou a laisse de cùlé les eus |)arliculieis où

cas (]ul ne se |)résenlei'onl pus si \ cl \ soûl les polynômes les plus généraux lie leur (l(\i;ré.

Or, pdui' (|ue

- Ài = X„

il l'aul el il sullll <pie

Dans ce cas, MM. Brïol el Boucpiel oui fail voir cpiune inlinilé de caractérisli<pies pussenl pur le poinl (a, ^j, c'esl-à-dire qu'on a encore affaire à un nœud.

Les eiiKj cas piécédcnls comprenncnl lous les points slui;uliers a, ji, lels cpie

les deux courbes

s'y coupent en un seul poinl el non (mi plusieurs points confondus. Ces points

singuliers s'appelleront points singuliers de première espèce, <■! l'on a vu

qu'il y avait quatre sortes de pareils points : les nœuds, les cols, les foyers el

les centres.

Reste à examiner les cas où

el ceux où

OU

Ces cas se présentent quand les courljos \ = Y = o se coupciU en j)lusicurs points confondus au poinl (a, [i).

En cdel, diri' (jue

c'esl (lire (|iie \ ^- <> ollrr iiii |i(iiiil iiiiilhpic en (a, |j^.

Ml MniRK SXn LES COURBES DEFIMFS PAR INE KOl'ATION niFFKHEMlEI.LK 1 0

Dire que

c'est dire que Y = o offre un point multiple en (a, fi).

Dire que

c'est dire que

rt, 6,

c'est-à-dire que les courbes X = o, \ =o soûl l:mi;cnlcs au point (a, 3).

De pareils points singuliers s'ap|)f'llcr(inl points si/ii; iiliers de seconde espèce, et il est évident, d'après ce (pii précède, qu'ils pourront toujours être considérés comme la limite d'un système de plusieurs points singuliers de première espèce confondus ensemble.

Les particularités que peuvent présenter de pareils points sont trop nombreuses et trop diverses pour que nous les étudiions en détail. Remarquons que de' pareils points ne peuvent exister si \ cl ^ sont 1rs pol\M(inies les plus généraux de leur degré.

Points situés sur rét/iiateiir. — Dans ce qui précède, on a supposé implicitement que a et p restent finis, c'cst-à-dirc que le point (a, j3) n'est pas sur l'équateur.

Mais le cas où a, |3 est sur l'équateur peut se ramener aisément aux cas déjà étudiés.

Considérons d'abord un |ioint de l'èquateui' non situé sui' le gi'and cercle

nous poserons

Si l'on considère ensuite ; et / comme les coordonnées d'un point dans un plan, ce point ne sera autre chose que la projection gnomonique du point {x,y) de la snlière sur un pian parallèle au plan du t;rand cercle

l'our le point ( a, ^ ) de la s|)lière, ces coordonnées ; cl l seront (inies, c'est-àdire qu'on sera ramené aux cas étudiés dans le commencement de ce Chapitre. Si l'on voulait étudier les caractéristiques dans le voisinage de l'intersection

ao MKMOIRE SIR I.KS COUnBKS DKI-IMES PAU UNE ÉQUATION UIFFÉRI'NTlELLt .

de l'équateur et du grand cercle

on poserait

l'I liiii raiMiniii'iail dv la même manière.