CHAPITRE III

DISTRIBUTION DES POIINTS SI.Ndn.llliS.

THÉoniiME II. — Tout sj-sirme de caraclérislit/iics admet des points singuliers.

Première hypothèse. — Les courbes

se coupent en des points non situés sur l'équaleur.

Dans ce cas, ces points d'intersection sont évidemment des points singuliers.

Deuxième hypothèse. — Les courbes

se ((iMiiciil en nu jioiul situé sur Féqualeur.

Su|)posons que ce poinl ne snil ])as sur le grand cercle

nous pf)serons

et, si ni est le degré lie relui des deu\ polynômes X cl Y dont le degré est le plus élevé, nous poserons

(.'éfpialum difrércnlicllc ilcvicnl alcii'S

dz (Il .. JY;" V,-/N,'

MÉMOini-: Sl'R LES COURBES nÉl'lMKS TAK l NE ÉQUATION DIFFERENTIELLE. ^I

pour < ^ a, 3 = o, on a, par hypothèse,

et par conséquent

3X1 = 0, Y, — rX, = o,

c'esl-à-dirc que le point

est un point singulier de l'équation proposée.

Troisième liypol lièse. — Les courbes X ^ o, Y = o ne se coupent en aucun

|ioinl. I<e def;ré de \ esl |)lus i;rand (pic celui de Y. Dans ce cas, lun au moins

des deux pojvniinics \ et ^ est de dcj;n- pair. De plus ^ , c>l divisililc par ;, de

sorte que

Or il est clair que pour

on a

sX, = 3Y.J — /X,= o,

et que par conséquent le point

est un point singulier.

Quatrième hypothèse. — Les courbes X = o, Y = o ne se coupent en aucun point. Le degré de X est inférieur à celui de Y. Dans ce cas on poserait

et, en raisonnant comme dans le cas précédent, on ferait voir que

j = < = o est un point singulier.

Cinquième hypothèse. — Les courbes X ^ o, Y z= o ne se coupent en aucun

point. Le degré de X et de Y est le même.

Si, de plus, Xa et Yo sont les termes du degré le plus élevé de X et Y, on

n'a pas identiquement

arYj — ^Xj = o.

Dans ce cas, le degré de X et de Y étant m, et nécessairement pair, la fonction xY, — jXo est homogène en x et r et de degré m + i, et par conséquent de degré impair.

MKMOinlî SIR I.KS COI HIIKS DKFINIES PAR IMC KOIATION DIFFICRRNTIIÎLLE.

Elle s'aniuilf dom-, soit pourj; = o, soil pourmie certaine valeur finie de — Si elle s'annule pour une eertaine valeur a de — > on aura à la fois pour

juand on aura posé

e'est-à-dire (pie le |)oinl

/ = a, ^ = o, i X| = Yi — /X] = o

sera un point singulier.

Si la fonrlion ,rY.j — jK-^2 s'annule pour :c == o, on posera

et l'on verra, comme précédemment, que le point

est un |)oinl sini;ulier.

Sixirme liypollièse. — Les courbes X et Y ne se coupent en aucun point. Le degré de X est le même que celui de \ ; si, de plus, Xo et Yo sont les termes du degré le plus élevé de X et de Y, on a identiquement