Yj— xX2=o

Cette hypothèse est inadmissible.

En efTcl, si l'on a identiquement

Xj est divisible par x et égal à ^7X3, Y, est divisible par r et égal à^^Y,, de sorte que l'on a identiquement

Maintenant Y3 = X3 est une fonction homogène de degré impair en x et tn y\ donc elle s'annule soil pour jr = o, soil pour une certaine valeur réelle a de — •

Donc, soit poui-a? = o, soil pour — = a, on auiait forcément

Xj= Yî=o,

MÉMOIRE SUR LKS COI liBES DÉFÎMES PAR UNE ÉQLATION DIFFÉRENTIELLE. zS

c esl-à-dirc cjwc les cdiirbes X = o, Y :^ o se coiiperaiciit on un point de l'équateur, ce qui est contraire à l'hypothèse.

En résumé, des six hypothèses que l'on peut faire, la sixième est inadmissible ; si l'une des cinq autres est réalisée, l'équation diderentielle admet des points singuliers, soit sur léqualeur, soil hors de l'équaleur.

Cas général. — On peut, sans nuire à la généralité, supposer:

1° Que les polynômes X et \ sont de même degré;

2° Que si Xo et Y^. sont les termes du degré le plus élevé de X et de V, on

n"a pas identiquement

.1" Que les courbes X :^ \ = o ne se coupent nulle part en plusieurs points confondus et ne se coupent pas sur l'écpialeur; 4" Que l'équation

ÛT \ i — J'Xi = o

n'a ])as de racines inulli]jles.

Dans ce cas, l'équaleur est toujours une caractéristique, el tous les points singuliers sont de première espèce. De plus, on peut, sans nuire à la généralité, supposer que tous les points singuliers sont des nœuds, des cols et àt'i, Juyers.

Le nombre des points singuliers est évidemment pair, puisque tout est symétrique par rapport au centre tie la sphère.

Le nombre minimum des points singuliers est donc égal à 2, et ce cas peut se

présenter de deux manières :

i" Les courbes

ne se coupent en aucun point; mais l'équation homogène

i- V'i — yS-2 = o

admet une solution réelle et une seule.

. On a alors sur l'équaleur deux points singuliers diamétralement opposés. Je

dis que ces points singuliers sont toujours des nœuds. Pour le démontrer, il

faut étudier les propriétés générales des points singuliers situés sur l'équateur.

Supposons que pour

1 = 7., .; =^ o, on ait

H MKMOIRB SLR LES COlHBliS DKFINIES PAU UNE EQIATION DIFFERENTIELLE.

Posons

/ = H -l- a, et soit

X| = 3^1 -H Xo-H X| H + \.i U- -^- . . . -t- 1 ,„ Il '" ,

Vi = x;t 1 + |Uo-i- l>-i II + ]i2 II'' -+ . . . -T- ;!,„ W".

où ^, et r,i scmt des |iolynoi)ies entiers en z et en //, et où les ), et les a sont des constantes. 11 vient, en posant

li if' -h . . . -h X,„ w" = l, tr-,

|Jl2 «2 + . . . + |X„, II'" = T,.i a-, X,= U^, -l-iÇi -H À„ + X, II,

d'où l'on lire

\,— f\, = ;6|+ «'-0,-4- ([!„— X„a) + (ai— X, a — Âo)".

où 0, et Oj sont des |iol\nimu's entiers en ; el it. L'éijiialion dilierentielle s'écrit alors, en reinanjuanl (jiie Ton doit avoir ^d =: AoC,

ilz i/u (■)

— i(X(,-!- Xi a -H 5^1 -i- a-;^; ~ (jJli— Xiï — Xu)(t -)- cO, -H «2 6,

Les racines de l'équation ( 5 ) sont alors

— Xo et [Xi— Xiï — A„.

Ces deux racines sont réelles.

Donc tout point singulier situé sur l'équaleur est un nœuil ou un col. (C'est ce qu'on devait ])révoir, l'équaleur étant une caractéristique.) Pour qu'il soit un nœud, ii faut et il suffit que

Il -+- XoX,a — Xii|X| > ().

Or le jjieiuier membre de cette inéj;alité est précisément la valeur que prend, pour

l'expression

iSfius n en changerons pai je sii;nr en écrivant

(') iJans celle phrase, une eircui- de réilai lion a été corrigée. (1!. G.).

MliMOlUK SIR I.KS COIRBES IIICFINIKS PAU tMC K(JUATION DIFFÉlŒNTIELLE.

c'esl-à-diii' (|ijc le |iiiiiii smf;iilicr

sera un col si, qu;mfl — [)iiss(:' do v. — s à 7. + s, l'expression ^ — — passe du négalif au posiilf, cl qu'il sera un nfriid si, ([uand — passe de a — sàa + s, l'expression -^ — — passe du positif au négalif.

Cela posé, nous allons introduire un<' considération nouvelle qui nous rendra les plus grands services. Soit un cycle situé tout entier dans un liémisplière. Ce cycle divise la sphère en deux régions, dont l'une, située tout entière dans l'un des hémisphères, s'appellera Y inh'iiciir dit tyclp.

Si le cycle est tout entier dans le |)reniier hémisphère, nous dirons cpi'un ])oinl iiioliilc décrit le cycle dans le sens |)ositif s'il a constamment l'intérieur du exile ù su gaiiclia; si au contraire, le cycle était dans le second hémisphère, un |i(]int décrirait le cycle dans le sens positif s'il en avait constamment l'intérieur (/ S(t ilinitt'.

Supposons qu'un point niolide décrix e le evcle dans le sens positif ci ((nisidiTiins les variations di' re\|)ressi(>n -^' Sml // le iiondiri' de fois (nie cette c\hi'cs>ion saute de — oc à +02; soit k le nombre tie fois que cette exjiression saute de + 00 à — 00. Soit

le nombre / s'appellera Vindice du ryc/c.

Si l'on joint deux points A et C il'un cycle ABCDA par un arc AMC situé

tout entier à l'intérieur du cycle, le cycle ABCDA se trouve décomposé en deux cycles ABCMA, AMCDA, et l'on a évidemment

nd. ABCD.V = ind. ABGVl.V + ind. AlVlCDA,