II. P. - I

ï(> MKMoiiti: SI 11 i.i:s loi iiiii'-; iikfimks pau im: l'yi atihn i)ii-FÉiti;\Tri:i,i.i:.

ili' -Mille i]ir<)li |>riil iMiiiciiii' II' liilciil (le I iiidirc il'iili CNclc (liiclii iiKjilc nu calcul lie I i m 11 ce do (lillcrciil> cvcio iulinmiciil pcl iN iiiii le cumnoseul .

TiiK.oiiKMK 111. — Un cycli' infinimcnl petit (fiii dp conlicnt à son intérieuraucun point singulier a pour indice o.

Eu cllel, SI ce c^ lie n'est |ias cini|ié pai- la ciiiiihc X = o,

Si le cycle est coupé par la courbe X = o, il nest pas coupé par la cinirljc Y = o: ^ est toujours de même signe et X passe une fois du positif au négatif, une luis du nci;atif au positif; d'où

De nièine, si la cmirhe X := o présentait à l'intérieur du cycle un point multiple d'ordre /«, un aurait

h = m, A = ni, / = ■ = o.

Thf.oufimiî W . — Si un cycle in fininient petit contient à son intérieur un point singulier, son indice est égal à ± \ .

Il est égal à -I- I si le point singulier est un col; à — i si le point singulier est un nœud ou un foyer.

En ert'et, posons

y — |î = p sinw. X — a = 0 cosio.

cl supposons ipicliui considère le cmIc

z, élanl une crmsianle i n fininient petite .

l'oipr di'eiire ce e\cle dans le sens posilit, il laiit laii'c varier m depuis o pi>.(pi à ■>.—.

()i- on a. en négligeant les infini ineni petits et reprenant les notations du

Clia|)ltre pn'er-denl ,

Y 1), -t- /;.. luii" (li

X II, -t- «j tiiiif;o; X s'annule dciiN fois, car. ipiaiid (.) \arie depuis o jiis(nr;'i ai

a^ -h «2 lilllgn*

MEMOIIIK SIR Lies COUHBKS DICFlNMiS l'.Ul II.NE liQIHTION Dll-KlillENTliaLE. '7

s'annulf deux fois pour deux Mdcurs de (■) (juc nous appellerons to,, et (0,1+—. Pour M = (jJo — ï, où E est inlininient petit, on a

,lang oj = tangwu — ',

où Z est positif et inliniiiienl petit . On a donc

Y 61 H- 62 lariK'Ou — 60^ X «1 -I- «2 inn^Mo — (f,t

Remarquons que la)i"('i, = — — '• 1' \ieurlra, eu ne"ii"eaiit ù.Z ile\ant 1 1 '^ a., "^ '^

l>, -+- Ù2 lani; (.)„,

Y iif h, — «261 I

Done. ^i a,l>2 — «o6|<;o, ^ pf^n'' (■) ^ i^o et poui- i.j ;= (.)„ + ir saute

de — co à + To, on a

• '' -'• Il = 2, A = ô, ; = = I .

Si, au eonli-aire, a,b-, — «^/^i>>o, -^ P"!"' '■> = <''o •'! pour ti) r= Wq + r saute

de + oc à — X, ou a

Alaiuleuaul. (pielle t>l la ('(iu<lit mn p(]Mr (pie

rit l>i — ".'''i > <J?

Reprenons l'i'ipiatiou ( > 1 cpii -^ écrit

l «i — /. ) ( bi — ). ) — a-il>\ = o.

11 est évident ipTon aura

si les deu\ ia<ine> de l'équation sont imaginaires ou de même >ii;ne. e"est-à-dire si le |ioint sin^ulieL- est un no'ud uu un iovci". On aura au contraire

"1 ^2 — "îbi < o.

si les deux racines sont réelles et de signe contraire, e"esl-;i-dire si le point singulier est un cid.

Le llir'oi'cnu' est done démontre.

»S .Mb'.MOIHIv SIR LES COl'IlUKS DKFIMKS PMI U.NK KQUATION DlFl'IiHEN IIULLE.

I'ruiilkmk I. — Calculer l'indice d'un cycle situé tout entier dans l'un des hémisphères.

Snienl N le mmiluc de-' ikimhIs, !•' le iiDinliic des foyers, C le iKniilne des cols conleniis à l'iiiléiicur du cycle.

Si l'on déco 111 |i(>>c le i\ elc dumié en une mil ni lé de cycles inlininieni |)elils )',

Un nonilire inliiii des cycles y aiirotil poni' indice o ;

i\ -h F des cycles y i> — i ;

• '. des cycles y » -\- \.

1, indice du ( \ cle donne sem <l(uic

PiiOBLF.Mi; II. — Calculer l'indice de VcijUtileur.

Soient 2 N le no Ml lire des noiuls, •> C le non il ire des eois silnrs sni rc(jiui|('ur. Soit ? =; — = hiiii; M.

Faisons varier m de|iuis - - juscprà -f- " ■ c'es|-à-dire lanj; (i) depuis — co

jus(in'à -I- x. Toul elanl s\ iiiel iii|iie |iai- ia|i|ioil an centre de la s|iliére,

— := — 2 prend poni(o+- la nu'ine saleur ipie pour (.i ; (jnand on lerait yaricro)

depuis + - iiiN([irà H ^> -^ repasserai I par les inèincs valeurs (|iie ijuand to

variai I de a H

Donc, (o ^al•ianl de — - à + -' v s:iulera - Cois de — a: à + ce , el - lois

de + o^ à — ce. .

Ceci posé, si Ton considère I expression

pour 0) = — 7' on a

pour O) = -1- -> on a

Soient /. le nomlire de fois (jue II passe du ncj;alif au |iosiiif, u. le nonilire de fois (pje II pasNC du posilifau néL;alif; on aura é\ idr^ui iiieiil

MEMOini; SlIH LES COIRBKS KEFIMKS PA» (NE EOtAIKI.V lHKFKltKMIELI.E. ■1\)

Or H peiil |)M^^('^ du iit''f;:ilil :iii |ioMhl, ><)il [inr n, n- iiiii i'iiii'('>|i(in(l ii un

col, sfiit par x, ce ([iii corresjxind à I une des \al('urs des — \aleut>. de o), |inMr

lesquelles — sauU^ de — oo à -i- x.

Ou a dnnc

De UK'illc

'i = iN H :

l'uir

d ou

Srolli'. — Si ir uouilui' de-. UiruiU Mlurs IniJ'-. dr 1 l'iMialiiil' csl :^ \ , relui

di's loyers situés hor^ de I équali'iir •'. !■'. celui de> cols silués lior> île riM|iialeiir

aC, celui des nonids silués mit I Ciiualeur ;il\'. celui de-- cols siliics sur I Ciiiia-

leur aE'. ou a la lelalioii

\-r N -4-F = C-hG'-^i.

Eli e 11 cl, |ioiir (d)leiiir ce résiillal , il Millil d i-^aler les deux valeiiï's de I indice de l'équaleiir obtenues dans les deux |)idl)]èiiies jiiécéilenls.

(Jiji ollaire I . ~ l,e ikmhIui- loi al des ineiids el des loyers es| (•j;ai au nombre total des cols plus ■).

Corullnire II. — Le iKuubre lolal des |ioiiils siii^iilii'is es| un iiiiilliiile de j plus 2.

Corollaire III. - Si le iKuubre des |i(unls siii<;ulii'i's se réduil à [>., ces |ioiiils sont (les meuds el des io\ei's; ils s(uil I(M||(U||s des lueiids s lis soiil sur I ccpia-

leur.

La courbe \ = o el la lourbc \ ^o se coinposenl d un (iilaiii uoiiibrede rvdes. (Iiuisidcnuis Ar\\\ ( jiielei ui(|ues de ces cxeles ; ils >,■ cnuiierolil en un muulire pair de poiiils.

Soient 7.0,7., 7.j„ les zn points d'inierseetion de ces deux cycles rangés

ti'ajjrès Tordre où on les rencontre eu parciuirant l'un des deux cycles, le cycle \ = o, par exemple, dans le sens pfjsiul'.

Tui.oi. i;.\n; \ . — Stip/iosons i/uc deux points to/isécii/ijs y./, et t.h^\ soient

3(> MKMoiHK SIR i.Ks c:oiiiiii:s iii:i'i\ii:s l'Mi i nk i;oi vik^n iiM'I'krk.ntiki.i.i:.

sifiK'S dans !<' mrinr hi''niisi>ln''re : je dis (jiii' si v./, csl un /xriid on un foyer.

^^A+i est un col. ou réri proijurnicnl.

Pour ci'Im il ■'uilil i\c liilio vciir c|iic loiit ex de (pii rnvi'l()|)|ip a/; c\ a^.,., a |)our indice u.

En olVcl. voit ( l'ig. ô) AI) l'arc ilii v\i\r \ ^^ n, Miilr<[iicl M' liduvcnt lc>

|)uiiils a.1. cl 7.(^1 : -Miiciil CI) cl l"F lc> iiio du cycle V=() (|ui vicuncnl c(Hi|icr AB rc>|)ccti\cmcnl en a/, cl -jli,^[-

Il esl évident (jue, |)iiur le cncIc ADFBECA.

Su|)|iiiMin>, an cunlrairc, qnc les piMnls 7/, l'I a/,^, soicnl dans denx licniisphères dillerenls.-

.le dis fine si y.;, est nn col, ïa^i est nn col. cl (|ne fovci'. y.;,^t est nn noiid ou un lover.

a/, esl un nonid ou nn

MKMillUI': SI II I.KS Cdl lllll.s lll.l IMi:S l'Ail l'M' 1:1,11 ATIDN IIHK KUKX'HI- l.l.K. il

Eu rllii, s|i|ipiis(iu- ijlli' Al> vieillir ciiuiiiT I r'(|iiiil (Ml r A[\ en H { fl g . \). Considérons \c cycl'' ACvHFBEHI^A. Ce cycle c>l parcdiiiii il uns 1rs daiix

Itrinisphèrcs dniis !<■ sens posilil.

Sii|)|)osons (|u en IrMiicliiss.inl le point A, — saule de — x à + oc ; il en sera

lie iiièiiic (|iiMnd 1)11 li:in( liira le poiiU II (iii li' |i(iinl lî, c osl-à-dire que si

irirl. ACHI» = I, Ind. VCIl I- BEH HA = 2.

De même, si

ind, AGIIIJ = — I, iii.l. Ai:ill'l?KIII)A = — ■).

c'est-à-diie f|ue, dans Ions les cas,

ind. ACHDA = iiul. IIFBEH. .:. g. v. n.

Deuxirme cas. - Dans Unit ce qui précèdt', nous avons supposé que X^ et Y^ élaienl de inèiiie de^ré, sans que

soilidenliquenienl nul.

IVous n'avons |ias exartiiiié ce qui se passerail si nous avions idenliquenienl

A un certain piunt de vue, le cas que nous avons étudié est plus général que celui que nous avons laissé de côté.

A un autre point de vue, c'est le contraire; car deux polynômes X et Y quelconques peuvent être considérés comme des cas particuliers des polynômes