PREMIÈRE PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES IX

périodes. Cette notion est tellement utile dans l'Analyse mathématique, que tous les géomètres ont dû penser depuis longtemps qu'il conviendrait de la généraliser en cherchant des fonctions uniformes d'une variable x qui demeurent inaltérées, quand on fait subir à cette variable certaines transformations ; mais ces transformations ne peuvent pas être choisies d'une manière quelconque. Elles doivent évidemment former un groupe, et, de plus, on ne doit pas pouvoir trouver dans ce groupe une transformation infinitésimale, c'est-à-dire qui ne fasse varier x que d'un infiniment petit. Sans cela, en répétant indéfiniment cette transformation, on ferait varier x d'une façon continue, et notre fonction uniforme, qui ne serait pas altérée quand la variable augmenterait dune manière continue, se réduirait à une constante. En d'autres termes, notre groupe doit être discontinu (104, G, 65). Le premier problème à résoudre est donc de trouver tous les groupes discontinus que l'on peut former.

Dans le cas des fonctions elliptiques, les transformations du groupe (qui est évidemment discontinu) consistent à ajouter à x certaines constantes. Ici encore une nouvelle analogie avec les fonctions elliptiques peut nous venir en aide. Pour étudier ces fonctions, on divise le plan en une infinité de parallélogrammes connus sous le nom de parallélogrammes des périodes. On peut obtenir tous les parallélogrammes en transformant l'un d'eux par les diverses substitutions du groupe, de sorte que la connaissance de la fonction à l'intérieur de l'un des parallélogrammes entraîne sa connaissance dans tout le plan. De même, si nous envisageons un groupe discontinu plus compliqué, engendrant une transcendante d'ordrç plus élevé, nous pourrons partager le plan (ou la région du plan où la fonction existe) en une infinité de régions ou de polygones curvilignes, de telle façon qu'on puisse obtenir toutes ces régions en appliquant à l'une d'elles toutes les transformations du groupe. La connaissance de la fonction à l'intérieur d'un de ces polygones curvilignes entraîne sa connaissance pour toutes les valeurs possibles de la variable.

Il est aisé de voir quelle est l'espèce particulière de groupes discontinus qu'il convient d'introduire. On se rappelle quel est le mode de génération des fonctions elliptiques : on considère certaines intégrales appelées de première espèce, ensuite, par un procédé connu sous le nom à' inversion, on regarde la variable x comme fonction de l'intégrale; la fonction ainsi définie est uniforme et doublement périodique.

De même ici, nous envisagerons une équation linéaire du second ordre et, par une sorte d'inversion, nous regarderons la variable x comme fonction, non H. P. — I. i>

X AXM.YSE DKS TR.VVAIX SCIENTIFIOI ES DR HUNRI l'OlXCAUE FAITE PAR LUI-MEME.

plus d'une iiUégrale, mais du rapport z des deux intégrales de notre équation. Dans certains cas, la fonction ainsi définie sera uniforme, et alors elle demeurera inaltérée par une infinité de substitutions linéaires changeant z en — '■^^

Pour cela, le groupe formé par ces substitutions doit être discontinu, et il est aisé de voir que les polygones curvilignes dont il a été question plus haut sont limités par des arcs de cercle. J'ai supposé d'abord que les coefficients

/ a- -t- 3 \ des substitutions ( s, -^ i; j étaient réels ou, ce qui revient au même, cjue ces

substitutions n'altéraient pas un certain cercle appelé fondamental. Dans ce cas, les arcs de cercle qui servent de côLés à nos polygones curvilignes sont orthogonaux à ce cercle fondamental.

Quelle est alors la condition pour que le groupe engendré par un polygone curviligne donné soit discontinu ? Pour résoudre ce problème, il y avait à surmonter une difficulté spéciale que je veux expliquer en quelques mots. Partant du polygone curviligne générateur, on construit aisément les polygones voisins, puis les polygones voisins de ceux-ci, et ainsi de suite. On a ainsi une sorte de surface qui va sans cesse en s'accrolssant, et ce qu'il s'agit de faire voir, c'est que cette surface ne va pas se recouvrir elle-même partiellement ou totalement, c'est-à-dire qu'un polygone nouvellement annexé à notre surface ne va pas recouvrir en partie un polygone anciennement construit. Pour cela, il ne suffit pas de remarquer que notre surface est simplement connexe et sans point de ramification (unverzweigt). Cette façon de raisonner n'est qu'un paralogisme qui a déjà entraîné quelques savants dans diverses erreurs et qui, dans le problème qui nous occupe, nous égarerait certainement. Il faut encore faire voir que la surface recouvre une partie du plan qui est elle-même simplement connexe (le contraire pourrait avoir lieu et une surface simplement connexe pourrait, en se recouvrant plusieurs fois elle-même, couvrir une région plane à connexion multiple). Ici la région simplement connexe, recouverte une fois et une seule par notre surface, est la superficie du cercle fondamental.

Il s'agit donc de démontrer qu'en construisant successivement tous nos polygones, comme je l'ai dit plus haut, on ne sortira jamais de ce cercle et qu'on atteindra forcément un point quelconque du cercle. La seconde de ces propositions m'aurait peut-être arrêté longtemps sans l'aide que j'ai trouvée dans une théorie fort différente : je veux parler de la Géométrie non euclidienne. Cette Géométrie, fondée sur l'hypothèse que la somme des angles d'un triangle est plus petite que deux droits, ne semble d'abord qu'un simple jeu de l'esprit qui

PBEMIERE PARTIE. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES. XI

n'a d'intérêt que pour le philosophe, sans pouvoir être d'aucune utilité au mathématicien. Il n'en est rien; les théorèmes de la géométrie de Lowats- CHEvsKi sont aussi vrais que ceux de la géométrie d'EucLiDE, à la condition qu'on les interprète comme ils doivent l'être. Ainsi, par exemple, ces théorèmes ne sont pas vrais de la ligne droite, telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si, partout où Lowatschevski dit « une droite », nous disons un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental. Je me trouvais donc en présence de toute une théorie, imaginée, il est vrai, dans un but métaphysicjue, mais dont chaque proposition, convenablement interprétée, me fournissait un théorème applicable à la Géométrie ordinaire. Il se trouva qu'en combinant tous ces théorèmes, j'obtins aisément la solution de la difficulté dojit j'ai parlé plus haut.

Je pus ainsi construire tous les groupes discontinus formés de substitutions n'altérant pas le cercle fondamental, et je les appelai groupes fuchsiens.

Mais un problème important se posait : étant donné un groupe fuchsien, existe-t-il des fonctions uniformes inaltérées par les substitutions de ce groupe (66) ? C'est ce que j'ai démontré et j'ai donné à ces fonctions le nom de M. FucHS. Pour arriver à ce résultat, il eût été possible, dans certains cas particuliers, d'appliquer la proposition connue sous le nom de principe de Dirichlet, si souvent appliquée par Riemann et démontrée plus récemment par M. ScHWARz. Je ne connaissais pas ce principe à cette époque, mais l'eussé-je connu, que je ne m'en serais pas servi; car il ne pouvait me donner la solution du problème que dans certains cas particuliers et, même dans ces cas, il pouvait servir à démontrer l'existence de la fonction, mais il n'en donnait pas le développement analytique.

C'est encore à l'analogie avec les fonctions elliptiques que j'ai dû faire appel. On sait que ces fonctions peuvent être regardées comme le quotient de deux transcendantes, non plus seulement uniformes, mais encore entières, et que l'on appelle les séries 6. Ces fonctions ne sont plus doublement périodiques, mais elles sont multipliées par une exponentielle quand la variable augmente d'une période. De même ici, je devais chercher à exprimer les fonctions fuchsiennes par le quotient de deux transcendantes finies et uniformes, tout à fait analogues aux fonctions 0, et se reproduisant multipliées par un facteur simple, quand la variable z subit une des transformations du groupe.

Je trouvai aisément des séries satisfaisant à ces conditions et je les appelai thêtafuchsiennes. Le quotient de deux pareilles séries était évidemment une fonc^

Vn ANALYSE DES TRAVAUX SClBNTlPlOlIËS DB ItENRI POINcARÉ FAITE PAR Ltll-MÉMR.

tion fuchsienne : j'avais ilouc du même coup démontré l'existence de ces fonctions et trouvé leur expression analytique. Le quotient de l'unité par une série thètafuchsienne est susceptible aussi d'un développement simple, et c'est la considération de ces développements nouveaux qui m'a permis de démontrer réciproquement que toute fonction fuchsienne peut être regardée comme le quotient de deux séries thèlafuchsiennes.

Ces fonctions fuchsiennes sont de deux sortes, les unes existant dans tout le plan, les autres n'exisinni qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Dans les deux cas, il y a entre les deux fond ions fuchsiennes qui ont même groupe une relation algébrique. La détermination du genre de cette relation est d'une importance capitale; je l'ai obtenue d'abord par des procédés analytiques, et plus simplement ensuite par la géométrie de situation.

Grâce à ces relations algébriques, il est possible d'utiliser les fondions fuchsiennes pour l'étude des fonctions et des courbes algébriques. Ainsi, Voïi peut exprimer les coordonnées des points d'une courbe algébrique par des fonctions fuchsiennes, c'est-à-dire uniformes, d'un même paramètre. On peut alors se servir de ces expressions des coordonnées pour arriver à un certain nombre de théorèmes sur ces courbes. On peut s'en servir également pour exposer d'une façon plus simple la théorie des fonctions abéliennes.

Si, dans une intégrale abélienne de première espèce, on remplace la variable j)ar une fonction fuchsienne de z, cette intégrale devient à son tour une fonction uniforme de z dont on trouve aisément le développement analytique. Ainsi ces intégrales, qu'on savait déjà obtenir à l'aide des fonctions 0, sont susceptibles d'une expression analytique entièrement différente, où entrent des transcendantes ne dépendant que d'une seule variable.

Mais ce n'est pas tout. Toute fonction fuchsienne peut être regardée comme provenant tic l'iinersion d'une équation du second ordre à coefficients algébriques, c'est-à-dire qu'on peut l'obtenir en regardant la variable x comme fonction du rapport z des intégrales de cette équation. Nos transcendantes nous fournissent donc immédiatement l'intégration d'une infinité d'équations linéaires que l'on peut appeler fuchsiennes.

Pour que l'analogie avec les fonctions elliptiques fût complète, il faudrait que les autres propriétés de ces fonctions, telles que les lois d'addition, de multiplication et <lc transformation, pussent s'étendre aux nouvelles transcendantes.

La théoiic de la transformation se généralise immédiatement, avec cette

PtlEMlÈBE PARTIE. — ÉQtATIONS DtFFÉhENTIELLES. XIII

diflérence toutefois que le groupe des fonctions fuchsiennes étant beaucoup plus compliqué que celui des fonctions elliptiques, les cas à considérer sont beaucoup plus nombreux et variés. Ce qui en fait surtout l'intérêt, c'est qu'on peut s'en servir pour jeter quelque lumière sur la question de la réduction des intégrales abéliennes (59). J'y reviendrai plus loin.

Au contraire, le théorème d'addition ne peut pas s'étendre à toutes les fonctions fuchsiennes. Cela n'est possible que dans un cas particulier et pour une classe spéciale de ces transcendantes (Gl, 191). Je veux parler de ces fonctions fuchsiennes qui tirent leur origine de la considération des formes quadratiques ternaires indéfinies et sur lesquelles je re\dendrai dans le paragraphe relatif à l'Arithmétique.

Les substitutions linéaires dont les coefficients ne sont plus réels, mais quelconques, peuvent aussi former des groupes discontinus que j'ai appelés kleinéens (15, 16, 68). Pour démontrer l'existence de ces groupes, je rencontrais la même difficulté que pour les groupes fuchsiens, et il semblait au premier abord impossible d'appliquer la géométrie non euclidienne. Dans certains cas particuliers la difficulté était facile à surmonter; mais, dans le cas général, elle subsistait tout entière. J'imaginai alors un artifice qui me permît de me servir de la géométrie non euclidienne, non plus à deux, mais à trois dimensions, et je démontrai aisément l'existence des groupes kleinéens. Je n'avais plus qu'à appliquer les méthodes qui m'avaient réussi une première fois pour trouver une nouvelle catégorie de fonctions tout à fait analogues aux fonctions fuchsiennes. La seule différence digne d'être signalée est celle qui résulte de la forme du domaine à l'intérieur duquel ces fonctions existent. Ce domaine, au lieu d'être un cercle, est limité par une courbe non analytique qui n'a pas de rayon de courbure déterminé. Dans d'autres cas, ce domaine est limité par une infinité de circonférences.

Les fonctions fuchsiennes sont susceptibles d'un autre mode de généralisation : je veux parler des fonctions hyperfuchsiennes imaginées par }A. Picard. Mais, comme elles ne peuvent guère s'apjpliquer aux équations différentielles proprement dites, je me réserve d'y revenir dans la deuxième Partie, consacrée à la théorie générale des fonctions.

Les résultats déjà obtenus faisaient dès lors pressentir quel intérêt il y aurait à déterminer les coefficients du groupe d'une équation linéaire en fonction des coefficients de l'équation elle-même (34, 3o, C9). Ce problème n'était pas nouveau et il avait déjà fait l'objet des travaux de divers mathématiciens

XIV ANALYSE DES TnAVAlIX SCIENTIFIQUES DE HENBI POINf.ARÉ FAITE PAR LUI-MÊME.

allemands, entre autres de MM. Fuchs et Hamburger. J'ai imaginé de nouvelles méthodes de calcul numérique, analogues à celles de ces savants, et j'ai reconnu qu'on pouvait varier ces procédés à l'infini. Mais ces méthodes ne nous apprennent rien, au point de vue de la théorie générale des fonctions, sur les propriétés des transcendantes, dont elles donnent seulement la valeur numérique. Il fallait chercher aussi à résoudre le problème à ce nouveau point de vue. J'ai obtenu dans cette voie divers résultats qui peuvent présenter quelque intérêt. Ainsi les coefficients du groupe considérés comme fonctions de certains coefficients de l'équation (les autres coefficients étant regardés comme constants) en sont des fonctions entières. J'ai étudié également les fonctions inverses qui, dans certains cas, sont uniformes.

Les résultats ainsi obtenus ne donnaient encore qu'une solution bien incomplète du problème que je m'étais proposé, c'est-à-dire de l'intégration des équations différentielles linéaires. Les équations que j'ai appelées plus haut fuchsiennes, et qu'on peut intégrer par une simple inversion, ne sont que des cas très particuliers des équations linéaires du second ordre. On ne doit pas s'en étonner si l'on réfléchit un peu à l'analogie avec les fonctions elliptiques. Le procédé de l'inversion ne permet de calculer que les intégrales elliptiques de première espèce. Pour les intégrales de deuxième et troisième espèce, il faut procéder d'une autre manière.

Envisageons, par exemple, l'intégrale de deuxième espèce

x^ dx

v/(i — a?2) (i — /■•!ar2)

Pour l'obtenir, nous considérerons comme équation auxiliaire celle qui donne l'intégrale de première espèce

,. /■' dx ,

"'"Jf, i/(i — T')(i — Â-'a:») '

d'où

par inversion

X ^= sns.

Remplaçant x par sn z, on trouve que u est égal à une fonction uniforme de z, Z (z), qui augmente d'une constante quand z augmente d'une période. On est donc conduit à employer ici un procédé analogue : étant donnée une équation linéaire E d'ordre quelconque, à coefficients algébriques en x, on se sert d'une équation auxiliaire E' du second ordre, et cette équation auxiliaire doit

PREMIERK PARTIE. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES. XV

être choisie de telle façon que x soit fonction fuchsienne du rapport z des intégrales de E' et que les intégrales de E soient des fonctions uniformes de z.

Est-il toujours possible de faire ce choix de manière à satisfaire à toutes ces conditions ? Telle est la question qui se pose naturellement. Cela revient d'ailleurs à demander si, parmi les équations Hnéaires qui satisfont à certaines conditions, qu'il est inutile d'énoncer ici, il y a toujours une équation fuchsienne. Je suis parvenu à démontrer qu'on devait répondre affirmativement à cette question. Je ne puis expliquer ici en quoi consiste la méthode dont nous nous sommes servis d'abord, M. Klein et moi, dans l'étude de divers exemples particuliers; comment M. Klein a cherché à appliquer cette méthode dans le cas général, ni comment j'ai comblé les lacunes qui subsistaient encore dans la démonstration du géomètre allemand, en introduisant une théorie qui a les plus grandes analogies avec celle de la réduction des formes quadratiques (J8, 19, 26, 27, 69).

On peut arriver au même résultat par une voie entièrement différente, comme l'ont reconnu divers savants. Il suffit de démontrer que l'équation

Am = e"

admet toujours sur une surface de Riem.\nn donnée une solution présentant des singularités données. M. Picard a donné le premier une démonstration de ce théorème; j'en ai donné une (174, 197) qui est entièrement différente et qui permet de compléter le résultat de M. Picard en l'étendant à un cas que ce géomètre avait laissé de côté et qui est important au point de vue de la théorie des fonctions fuchsiennes. C'est celui où l'un des sommets du polygone générateur se trouve sur le cercle fondamental.

Ainsi, l'équation auxiliaire E' existera toujours; mais il ne suffit pas de pouvoir démontrer son existence, il faut encore savoir la former. C'est là l'objet de la dernière Partie de mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires. J'ai donné, dans cette dernière Partie, des procédés pour calculer les coefficients de l'équation E', non pas exactement, ce qui est impossible, mais avec une approximation aussi grande que l'on veut.

Si maintenant on considère le rapport z des intégrales de cette équation auxiliaire, a; est une fonction fuchsienne de 3 que j'appelle / (z), et les intégrales de l'équation E sont des fonctions uniformes de z, qui subissent des transformations linéaires lorsque z subit une transformation du groupe, de la même manière que la fonction Z (z) augmente d'une constante quand z augmente

XVI ANAI.VSK DES THAVAIX SCIENTIFIQUES DE IIENIII l'OlNCARË FAITE PAR Llll-.MFME.

d'une période (70). Ces fonctions uniformes jouent pour l'intégration de l'équation V. le nièine rôle que la fonclion Z [z) joue pour lo calcul des intégrales elliptiques de seconde espèce. C'est pour cette raison que je les ai appelées zêtafiichsiennes.

Ces fonctions zètafuchsiennes sont évidemment susceptibles d'être mises sous la forme du quotient de deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ::. Ces deux séries sont convergentes à l'intérieur du cercle fondamental. Si la fonction / [z) n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental (ce que nous supposons), la variable z ne peut jamais sortir de ce cercle, en sorte que nos deux séries sont toujours convergentes. D'ailleurs, les coefficients de ces séries se calculent aisément par récurrence. A ce point de vue, on peut donc déjà dire que ces développements nous donnent l'intégration complète de l'équation E, puisqu'ils sont toujours valables au lieu d'être limités à un domaine particulier. Je ne me suis cependant pas contenté de ce résultat, car li est possible de donner des fonctions zètafuchsiennes des développements beaucoup plus satisfaisants pour l'esprit, parce que les termes sont liés les uns aux autres par une loi simple et que, par conséquent, le développement met en évidence les propriétés caractéristicjues de ces fonctions. C'est ainsi que l'expression de sn :: par les séries d'EiSENSTEiN est beaucoup plus satisfaisante pour l'esprit (quoique moins convergente) que le développement de cette fonction suivant les puissances de z et de k^. C'est dans ce but que j'ai exprimé les fonctions zètafuchsiennes, par le quotient de deux séries; le dénominateur est une série thêtafuchsienne et le numérateur est une série à termes rationnels, où l'expression du terme général est fort simple.

Ainsi, il est possible d'exprimer les intégrales des équations linéaires à coefficients algébriques, à l'aide des transcendantes nouvelles, de la même manière que l'on a exprimé, à l'aide des fonctions abéliennes, les intégrales des différentielles algébriques. D'ailleurs, ces dernières intégrales elles-mêmes sont susceptibles d'être obtenues aussi par l'intermédiaire des fonctions fuchsiennes, et l'on a ainsi une expression nouvelle, entièrement différente de celle où entrent les séries 0 à plusieurs variables.