CHAPITRE V
TllftORlE DES CONSÉQUENTS.
Com-ention fondamentale. — Considérons une demi-caracléristique quelconque; nous la prolongerons indélininicnt, si l'on peut le faire sans rencontrer un point singulier; si, au contraire, en suivant la demi-caractéristique, nous arrivons à un nicud, nous Tarrèterons à un nœud; si nous arrivons à un col, trois chemins s'ouvriront devant nous quand nous voudrons continuer à suivre la caractéristique, le premier dans le prolongement du chemin suivi jusqu'alors, les deux autres à droite et à gauche; nous conviendrons de suivre l'un des chemins de droite ou de gauche, sans jamais prendre celui qui est directement devant nous. Par exemple, nous cousidérerons OB ou OD (/«,!,'. 6) et non
Fis. G
pas OC, comme le prolongement de AO. De cette façon, on peut dire que dans le voisinage d'un col il y a quatre caractéristiques collées l'une contre l'autre, et ayant deux à deux une hranche commune : ce sont les caractéristiques AOB, BOC, COD, DOA.
Définition des consé<iupnts. — Soit
un eirc algébrique sans contact; cp cL •!/ sduI des fonctions algébriques de t, et n'ont qu'une seule valeur pour cbaque valeur de l. Les extrémités de l'arc correspondront aux \aleurs de I,
Un pareil arc, sans contact, aura deux côtés que nous apj)ellerons sa droite et sa gauche ; un point infiniment voisin de Varc AB pourra, en effet, être à droite ou à gauche de cet arc. Par exemple, le point m sera à gauche de l'arc AB {fis- 7), le point /;/' à droite de l'arc AB, parce (pi'on ne |)eut passer de l'un à
Fie
l'autre sans traverser l'arc AB, ou sans s'éloigner de cet arc à une distance finie, ou sans passer par un cercle de ra\(in inliiiinicnl pelil tracé avec A ou avec B comme centre.
Ceci posé, considérons un point (piclconque M,, de lare AB {fig. S); de ce
Fis. 8.
point partent deux demi-ra/aclérislit/iies, l'une vers la gauche, l'autre vers la droite de lare AB; considérons celle de gauche. 11 pourra se présenter plusieurs cas :
1" Cette demi-caractéristique peut se prolonger indéfiniment, sans qu'on rencontre de nouveau l'arc AB.
2° Celte demi-caractéristique finit en tournant autour d'un foyer, avant d'avoir rencontré de nouveau l'arc AB.
46 MK.MOIRE SUR LES COIIIIIKS IIKFIMKS l'\U UNE KOl'A'l'ION Hl [•■l'ÉllENTIELLE.
.>" Elit" jilioulii Ti Mil iiumhI où iKiiis {Icvdiis I iiii('lri-. d'iiiiivs In ronvenlion fondamenlalc, cl cc\n iivani d'avoir rmu'oiilrc de nom eau l'arc AB.
Dans ces Iroi-. |)i('iitlt'iN en'-, iioii-- iliiim> (nic le point M,, na pas de conséquent.
'x" La diiiii-(aract(''iisll(nu; \'u'\\\ rcncoiil rir- l'aie AR on M, avant d'avoir liasse par un ijoiiil Miii;uli('r. Nous dirons alors ijuc le point Mi est le conséquent du point M,|.
5" La dcnii-cara(l(''risli([U(' ahoiilil à un col a\anl d'rirr arrivée à rencontrer de iKUiveaii lare \H. Dans ce cas, d a|irès la eonvenlion londanienlale, il tant tourner sciii il droite, soil à i;aiiclie, cl cliaeiin de ces deux elieniins peut nous ct)nduii'e ou ni' pas nous conduire à rencontrer de nouveau l'arc AB. Le point M,i |ieut al(Us a\(iir o. i ou ■>. conséquents.
Il peut enlin arrixer ipie la deini-caractéristique rencontre deux cols ou plus encore, el dans ce cas le point M,, poiinail avoir plus de deux consécpients.
Si, en partant du point M,,, au lieu de considérer la demi-caractéristique de gauche, on a\ail envisagé celle de droite, on aurait pu arriver à un point M' situé sur l'arc AB.
Ce point Al' s'appellera V antécédent du point M,,.
Dans ces conditions, le point M,, sera liii-inèine l'anléeédent de son conséquent M|.
Si /„ el /, son! fies valeurs i\v I qui eorrespiindent à M,, et à M,, la toi de conséquence sera la relaliiui (pu lie /„ a /,.
Théorème \I. — .S"/ /„ = /|, In caractéristique est un cycle. Si t,,'^ I,, la caractéristique est une spirale.
En ellel, la première partie de renoncé est une véritable tautologie. La seconde se démontre aisément de la manière suivante :
Remarquons d'ahord que l'arc M„I)M| (fiff. g) sur-tend l'an- M„CAL Ae la caractéristique, car il est sans contact.
De plus, cet arc MoD\L ne peut rencontrer la caractérisliipie en aucun autre point que M„ et M,, (tardes arcs tels ipie M, FM^, MdHM., seraient .ço^/i-Zf/fc/wi par les arcs M, Mo, M^Mj, ce qui est impossible, puisque ces arcs sont supposés sans contact.
MEMOIIIE SLR LES COLRBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 4?
Ceci posé, jiar le point N„ infiniment voisin de M,, et à sanche de re dernier, on pourra mener un arc de caraclérislique N„Ei\| tpii viendra rencontrer
l'arc M||1M| en un puinl Ni, inlinimcnl voisin de M, el à j;aiiclie de ce dernier, car il ne poiirrail passer à droite sans c(iii|)er la caracicristique MpCM,, ce (jiii est impossible.
Le cycle N,M||N,|EN| ne rencontre donc la caractéristique MiiCM, qu'en un seid point (jiii est iNf,,. l3onc, cette caractcristiipic est une spirale.
Théorème \II. — Toute caracicristique qui n aboutit pas à un nœud est un cycle ou une spirale.
En eUel, si cette caractéristique ne rencontre aucun cvcle algébrique en une infinité de points, elle est un cycle, en vertu du tliéoréme 1.
Si, au contraire, elle rencontre un cycle algébrique en une infinité de points, comme ce cycle se compose d'un nombre fini darcs sans contact, elle rencontrera l'un de ces arcs, el aura conlacl rn plus iImii p(uiit, c t'st-à-dire que l'un des points d intersection aura un conséquent.
S'il se confond avec son conséquent, la caractéristique est un cycle; s'il ne se confond pas avec son conséquent, la caractéristique est une spirale, en vertu du tliéoréme XI.
Le théorème est donc démontré.
ThéorIcme XIII. — 5? M„ ne correspond pas à une caraclérislique passant par un rol^ et s'il a un conséquent M, ; si /, = -j, (/,,) est la loi de consé-
4S MKMOIHE Slip, LUS i:Ol HIllCS DKKIMES l'Ail UNE EQ! ATION DIFHÉHENTIELLE.
ijuencc, la fonction 3, est holomorplic pour les valeurs de t„ l'oisines de celle qui correspond à M„.
En ollel, iii)ii> iivdus supposé au di'lnil (pic si
sciiil II- iMpiiiliiui- ili- 1 arc sans coulacl, i cl 'l soiil ilcs (imclioiis lidloiuorphes (le / liai!-- le Miisina^c de la \alciii' de / (pu c(>ii-esp(Ui(l à M,,, cl aussi dt^ celle cnii correspond à ^1 , .
Supposons que l\)ii ciicrciic une iiile^rale de I c(pialioii aux diUcrcnccs parlielles
ax dy
qui soit assujcllie à se ié(luir(> idcnliquemenl à /„, quand on y l'ail.
Celle inléyrale rcprésenle une surface qui passe par la courhe gauche,
Daii- le \oisinaj;e du poiul M,,, ccUe inU'j;rale esl iiulomorplic en .r cl caj; car l'arc
ne liMiclie |)as une caraclérisll([iic.
Hlle sera de même liolomorplic en x et en )• loul le loni; de la caraclérislique (jui passe par le poinl M,,, à moins que celle çaraclérislique ne passe ])ar un poinl sinj;ulier. Or, nous avons supposé que celle çaraclérislique allail passer par le |)oinl M, sans asoir rencoiilré aucun point singulier. Dans le voisiiia;:c du poiul M,, ; esi donc roaclHui Indomorplie de x el de y; et, si l'on y tait
z- devieiil fonction lr(diiiii(ir|ilie de /, dans le voisinage de la valeur de /|, qui correspond à M , .
Or, z n'est anlrc ( liosc ipie /,,. Doue. /„ esl loucUon liolomorplie de /,. On ficmontrcrail ideMlKpieiiieiil . de la iiK'iiic inanieic, (|iie /, esl lonction liolomorplie de /„ flans le Noisiiiage fie la valeur' de /„ fpii coiresponfl à M,,.
Corollilirc l. — La fonelion /i^-j, ( /„ ). ipii exprime la loi de conséfpiciice,
MÉMOIRE SUR LES COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. ilO
ne peut offrir de discontinuité que pour les valeurs de t„ qui corres|)ondenl à des caractéristiques passant par des cols.
Corollaire //. — Si l'on divise l'arc sans contact AB en arcs partiels, tels que tous les points de chacun de ces arcs aient un conséquent, ou qu'aucun n'en ait, les extrémités de ces arcs partiels seront des points ayant pour conséquent une extrémité de l'arc sans contact AB, ou correspondant à des caractéristiques passant par des cols.
Corollaire lll. — Si les extrémités de l'arc sans contact correspondent aux valeurs
si, pour aucune valeur de ,' telle que
la caractéristique correspondante ne passe pas par un col;
si, pour toutes les valeurs de l, telles que (a, et [ii étant des constantes
données), on ait
a<ai<<<Bi<?,
la caractéristique correspondante est un cycle ;
les caractéristiques qui correspondent à nnc y lAewv quelconque Ae t comprise entre a et ^ sont Coûtes des cycles.
Théorème XIV. — La valeur de -r^ est toujours positii'e.
En effet, soit AB l'arc sans contact {^fîg. i i), soit MoM, une caractéristique.
Fi g. 10.
soit N„ un point infiniment voisin de Mo et situé à droite de ce point. Soit N„N,
la caractéristique qui passe par ce point. Le point N, est infiniment voisin de M, ;
5o MÉMOIRE SUR LES COCnBES «KFINIES PAR UNE EQUATION DIFFERENTIELLE.
je dis qu'il est à droite de ce jioiiit. (ïar, |)Our qu'il fût à gauche, il faudrait que la earaetéristique IN„]N| sortît du cycle M„HM| N(,M,| quand on la prolonge au delà de N,, c'est-à-dire que l'are de caractéristique N(,N, fût sous-tendu par l'arc NjN,, ce qui est iiuiiossililc, puisque cet arc est sans contact.
Elude de la courbe de conséquence. — Si l'on considère les quantités /„ et /, comme les coordonnées d'un point, la loi de conséquence
'i= <Pi('o) représente une courbe. Cette courbe est comprise tout entière dans le carré
Premier cas. — A aucune valeur de t comprise entre a et j3 ne correspond de caractéristique allant passer par un col.
Dans ce cas, la courbe de conséquence est continue; elle ne rencontre qu'en un point les parallèles aux axes; en suivant la courbe dans un certain sens convenable, on va constamment en s'éloignant de ces deux axes.
C'est dire que si KLCD est le carré (/iff- i i)
la courbe présente des formes telles que
