AB, CD, EF, GH

Elle représentera la forme CD quand les valeurs a et 3 de t„ correspondront à des cycles, pendant qu'aucune valeur de t„ comprise entre a et ^ ne correspondra à un cycle.

MÉMOIRE SUR LES COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 5l

Deuxième cas. — Supposons qu'à certaines valeurs de y,,, Yoi •■■ de f„ comprises entre a et 3 correspondent des caractéristiques allant passer par un col;

que, de plus, aux valeurs y. et ^ correspondent des cycles; cju'à aucune valeur intermédiaire ne corresponde un cycle :

De tous les cols partent quatre hranciies de caractéristiques; certaines de ces branches viennent rencontrer lare sans contact donné; d'autres ne le font pas.

Supposons d'ahord que toutes celles de ces branches qui viennent rencontrer l'arc sans contact donné partent d'un seul et même col :

1° Il est impossible cjue les quatre branches issues d'un même col aillent rencontrer l'arc sans contact. Soit, en effet, AB {fig- 12) l'arc sans contact

Fig. 12.

donné. Soit C le col donné; soient CM,,, CM,, CN„, CN, les quatre branches de caractéristiques cjui partent de ce col, de telle façon que M, CM,, N,CNj ne forment pas de point anguleux.

D"aj)rès le théorème \, remarque I, la portion M,, M, de l'arc AB sous-tend la caractéristique MuCM,.

Les deux arcs AM,,, M|B sont donc d'un nièine côté du cycle M„M|CMn; appelons ce côté du cycle V extérieur du cycle. Les deux branches de courbe CN„, CN, sont l'une à l'extérieur, l'autre à l'intérieur du cycle MqMi CM„. Soit CN, celle qui est à l'intérieur: elle ne pourrait rencontrer l'are AB qu'entre M„ et M,, et du même côté que les branches de courbe CM„, CM(, de telle sorte que l'arc algébricjue M, M, sous-tendrait l'arc de caractéri.'— tique M, CIN,, ce qui est impossible d'après le théorème X.

Remarque I. — L'hypothèse que nous avons faite en commençant est donc absurde. c. q. f. d.

2" 11 peut se faire que trois des branches issues d'un même col aillent ren-

5i MKMOIRE SIR LRS COURBES •DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFKBKNTIELLË.

l'oiitrer l'arc sans conlacl. Dans ce cas, ou bien il y a un point qui a deux conséquenls et les points situés entre ces deux conséquents nont pas d'antécédent ; OH bien il y a un point qui a deux antécédents, et les points situés entre ces deux antécédents n'ont pas de conséquent.

De telle façon que la courl)C de conséquence affecte soit la forme CHFD, soit

la forme CABD {fig. i3).

Fig. i:;.

3" 11 ne peut se faire que deux on une seulement des branches issues d'un même col aillent rencontrer l'arc sans contact.

En eli'et, sup|Hisons liaixiid (ju'il y ait deux branches de caractéristiques CM^ et CM| '([iii rencontrent AB, et cpie M|,CM| {/îg. i4) présente un point anjçuleux

t'ig. i,'|.

en C. Lu piiiiil iiilinimeiit voisin de M„ aura un conséquent s'il est à droite de Mo, et n iii aura |ias s'il est à gauche. Donc, d'après le corollaire II du théorème Xlll, les points de l'arc MqA n'auront donc pas de conséquent. Ln point infiniment voisin de A n'aurait donc pas de conséquent, ce qui est absurde puisque A est son propie conséquent. De même, si l'on supposait que M|CM„ ne présente pas de point anguleux, ou fpic CM, ne rencontre pas l'arc AB, on arriverait à ce résultat absurde qu'un point infiniment voisin de A n'a pas de conséquent. Les hypothèses faites au début sont donc également absurdes.

MKMOIRK SUR LKS COURnES DEFIMES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 53

Nous n'examinerons pas en détail les cas où les branches de caracLéiisliques qui viennent rencontrer l'arc sans contact sont issues de plusieurs cols différents. La discussion se ferait d'après les mêmes principes, elle serait seulement plus lonj;iic. Cilons seulement quelques exemples de combinaisons possibles (' )•

i" Courbe CABD [fig- i"))- — I/arc sans contact est rencontré par deux

branches de caractéristiques issues d'un premier col X et par deux branches issues d'un second col |j.. Ces deux systèmes de deux brandies de caractéristiques présentent chacun un point anguleux, l'un en ),. riiulir en a.

Si Vin\ fail varier /„ depuis a juMiii'ii la videur qui ciirrcspond iiii poiiil A et à la caraclérislupic (pii pa>sc en ),, on a un C()iiséf[uent ; cumiiIi' /„ variant dcjHiis la valeur qui ciirrespond au poinl \ pisqu'à celle qui ciu'i'espdud- au point B et à la caractéristique qui passe en jji.', on n'a plus de conséquent; et l'on en a un de nouveau quand /„ varie depuis In valeur qui corres|)ond à B pisqu'à p.

CHÂPirRE VI.