THÉORIE DES CYCLES LIMITES
D'après ce que nous avons vu plus haut, les caractéristiques peuvent se diviser en quatre catégories :
1° Les cycles;
(') 11 ressort du lexie que l'auteur avail en vue un second exemple, correspondant à la courbe représenlalive CEFGHIJ. Dans ce cas, l'arc sans contact est rencontré par trois branches de c;iractéristiqucs issues d'un premier c< il, et par trois branches issues d'yn second col. { R. G.)
Vt MKMOIHK Sl'Il I.KS courbes définies PAU UNE ÉOUATION DIFFÉRENTIELLE.
■>" l.('^ .-.puMles (iiii- l'on peut snivrr iiidélinimenl duns les deux .sens sans aboutir à un nœud ou sans tourner ault)ur d'un tojer, et sans revenir au point de départ ;
3" Les caractéristi(piiN ipir I On |i(nl snnie ludflininieiit dans un sens sans reneonlnr un nuMul mi se ia|ipi()(lier d un fover, iiimIs (pii, dans laulro sens, aboutissent à un nœud ou se rapprocliciil indiilinimenl d'un l'o>er;
4" Celles rpii aboiilissenl de pari cl d autre à un nuud ou à un fover.
aprc> les mêmes juin
principes, les demi-carcictéiislif/iies M' d[\'\!,t'n\ en (piatie
i" Les eyeles;
2" Les demi-spirales cpie l'on suit sur un arc infini sans arriver à un nœud ou à un foyer et sans revenir au point de départ;
3" Les demi-caraetéristiques qui aboutissent à un nu'ud; 4" Celles qui tournent indéfiniment autour d'un fojer.
D'après le théorème 1, les demi-earaetcristiques de la seconde caléf;orie renrontrent certains cycles algébriques, et par consé(}uent certains arcs algébriques sans contact en une infinité de points.
Soit AB un de ces arcs algébriques sans contact.
Soit M„ (y/o'. i(l)ic poiiii d'où est issue la demi-caractéristique considérée.
Soit M| le conséquent de M„, et supposons que M( soit à droite de M,,.
.Soient Al^ le cf)nséfjiiciit de M,, M, celui de M^, etc. ; M^ sera à droite de M,, Mj sera à droite de AL, etc.
En général, M„+, sera à droite de M„, et comme, quelque grand que suit n, M„ est toujours sur l'arc AB, M„ tendra vers une limite (piand /( augmentera indéfinimcnl. Soit II celle limite.
MKMOIRK SUR LES COURBES DKKINIIÎS PAR UNE KQUATION DIFFKnENTIKl.I.E. 55
l.c consOfiiicnt de M„, (jiinnd n ot inliiiiiiicnl gr;iii(l, esl inlininu^nl rapprtxlic de M„. Donc H est son propre (;onsé(jiii'iil ; donc la caraclcristiquc qui jjasse par H est nn cycle; nous l'appellerons cycle limile de la demi-caraclérislique donnée. ( )n peul suivre sur la cararlérislupic (pu passe par M,, un arc assez i;iauil |i(iui'se lapproclier aulanl que I on ncuI du point II.
S(Ml IIK un arc de la caraetérisli(pic cpii pas>e par le pdiul II. Soil CD un are ali;él)rique passant par K.
On jiourra prendre n assez grand pour (jue l'arc de caractéristique issu de M„ aille l'ciiconl iei- CD.
Sup|iii>(ins, par exemple, (pie Tare is.su de AL aille rencontrer CD en N2. L'arc issu de M:i ira rencontrer CD en Nj, ... l'arc issu de M„, en un |)olnl N„.
N3 sera à droite de \ , ..., N„^, sera à droite de N„. De sorte que la demicaractéristique donnée rencontrera CD en une infinité de points No, N3, ..., N„, et que Nb tendra vers K quand n augmentera indéfiniment. En résume, toute demi-caractéristique de la seconde catégorie a un cycle limite.
Tout arc algébrique, si petit (pi'il soil, (pii coupe ce cycle, coupe la demicaractéristique en une infinité de points.
On peut trouver un point de la demi-caractéristitpie qui soit aussi ia])|)roelié fpi'nn vomira d'un pouil quelconque de son cycle limite.
.Soil AU {/ig- 17) un arc algébrique sans contact. Sujiposons <pi"à aucun
Fig 17.
point M silué cuire V et H ne iiiires|i(iii(le une caiaet(''iis| upic .illaul passer jiar un col; qu'au point M„ correspomle un c^cle limite, cl (pi'à aucun |)oinl M différent de M,| silué entre A el B ne corresponde un cycle limite. Toute caractéristique qui rencontre AB aura pour cycle limile le cvcle qui passe par M„.
Si l'on con.sidère un cycle limite C ( //;,'. 1 .S ) <|ui ne passe pas par un col et qui passe [lar un ])iiii\t M„, on pourra ni(!ner par M„ un arc algébrique AB assez petit pour qu'il soit sans contact; pour qu'entre A et M,, ou entre M„ et B il n'y ait aucun point auquel corresponde une caractéristique passant par un col n cycle limite. Toutes les caractéristiques qui rencontrent AB ont alors C
ou II
56 MKMOIRK SUR I.KS COI'IIUKS IIKTINIKS PAR UNK KQI'ATION DIFFRRKNTIKI.I.H.
pour cyclo limite, de sorte ([ne C osl le ejcle liniile de deux séries tie caractéristiques situées l'une à linlérieur tlu cycle, l'aiilic à l'cxlérieur. \ oyons ce qui se passe quand C va passer par un col.
Fig. i8.
Soient II le col, HA, HB, HC, HD les quatre branches de caractéristiques issues de ce col. Su|)posons que deux de ces branches, HA et HB par exemple, aillent aboutir à un même point M, de façon à former un cycle HAMBH; ce cycle sera toujours cycle limite de courbes telles que aa; l'inspection de la figure le démontre (Jig- 19 )•
Considérons, au conlraire, la courbe |î^i; il est aisé de voir que, si les branches de courbe HC, HD ne vont pas aijoulir en un même point l\, le cycle IIAMBH n'est pas cycle limite de [i'fi.
Si, au contraire, HC et HD vont se réunir en N, [ifi a pour cycle limite le
polyr'vcle
IIAMBHDMCH.
Théorème XV. — . / l' intérieur et ù l'extérieur dhiii cycle limite quelconque^ il y a toujours au moins un foyer ou un nœud.
Pour démontrer ce théorème nous allons appeler langences d'un cycle les points où il touclie un des grands cercles x = const.
Les tangences seront directes si, dans le voisinage du point de contact, le grand cercle tangent reste à l'extérieur du cycle. Elles seront inverses dans le cas contraire.
Nous démontrerons ensuite les deux lemmes suivants :
Lemme 1. — Si les jioinls d' intersection de Véijuateur avec le grand cercle x=^o, points que nous (ijipellerons m, m', sont tous deux à Vexlérieur d^un cycle, l'excès du nombre des tnngen.ces directes de ce cycle sur le nombre de ses langences inverses est de i.
Si les points w?, m' son! tous deux à lintéiieur du cycle, cet excès est de — 2.
Si les points /», //;' sont liin à l'extéricLir, l'autre ù l'intérieur, cet excès est de o.
En efiet, on peut iiasstrd'un evcle cpu'lciin([ue A à un autre e>ele également (pieleonque B par voie de ilélorination conlinue, e est-à-dire en passant du cycle A à un cycle qui en tlillére infiniment peu. A', et ensuite par une série de cycles C infiniment peu difl'érents les uns des autres, on arrivera à un cycle B', infiniment peu dillerent de B.
Dans ces déformations successives, une langence directe ne se transformera jamais en une tangence inverse, ni une langenee inverse en une tangenee direele, car cela ne jiourrait avoir lieu que si l'un des grands cercles x = const. devenait oscillateur à l'un des cycles; dans ce cas, ce serait que deux tangences, l'une directe et l'autre inverse, seraient venues à se confondre, et, dans ce cas, elles disparaîtraient en général pour un des cycles infiniment voisins de C.
L'excès qu'il s'agit d'évaluer dans ce lemme ne peut se modifier dans ces déformations continues du cycle que si deux des langences viennent à se confondre, puis à disparaître. Or cela jieut arriver dans deux cas :
1" Quand liin des cycles C \ientà passer par liin des |)oinls /«, /)?'; mais nous sujqioserons : i" que les points /;/, m' sont tous deux à l'intérieur de A et tous deux à l'extérieur de B; 2" ou cpie les points »/, m' sont tous deux à l'ex teneur H. P. — I. 8
5S MKMOIUK Sl'R LKS COl'nlUÎS I)K1-|MES PAU HNK KOUATION DIFFÉRENTIELLE.
de A et à I oxIiTU'iii- (l(^ B ; S" on ([uc /» xili ù rrxlriii'ur- ilc \ cl dr B prnilnnl que m' r>l à I mliTicui- de ces dciiv cncIo; et. pai' cim'-ccjueiil , un aura pu toujours clioiMr la série des eveles (". (|ui periiiel leiU de jKisser du cvclc A au «■yelc B, de telle .sorle i|u aucun des e\cles C ne passe m pai' /ii . m par ///.
2" Cela peni aii[\er eneiii'e si ! un des eyeles G de\ leul oseujaleui' à lun des cercles .J' :r^ eonsl. Mais, dans ce cas, e'esl une lanj;eiiee ilireele el une tanf^enec in\crse (pii se e(Uir(indenl el disparaissenl. L'e\c<''s à (Aaluer n'est diMie pas niodilié.
Donc cet excès l'sl le niènie pour A e| pour B.
Mais su|)piis()ns (pw A soit un cycle convexe quelconque, el B le cycle donné.
L'excès eu (pieslion sera de '. pouf A si m et ///' scmt à l'extérieur de A; il sera de — ■>. s'ils soni Imis deux à I iiilèrieur, el o s'ils sont 1 y\n à 1 iiilérieur el 1 autre à rextérleiir.
I, excès en (piesiiou si'ia donc, pour B, de 2, de — 2 el de o dans les inèines conditions.
Le leninie esl donc deinontri-.
Lemme il — Si l'on parcourt un cycle de manière à a\'oir toujours rintrrirur à sa gauche et que l'on observe les variations du coeJ/i<ient angulaire -j-i on obsencra qu a chaque tangence directe, H- sautera de + 00 à — 00 si l'on esl dans le premier hémisphère, cl de — ce à + 00 si l'on esl dans le second hèmisplière, et que c'est le contraire pour les tangences imcrses.
Dénionstralion du ikéorènie. — Suj>posons d'abord que le ( \(lc linule considéré soil tel que les deux points ni el m' soient d'un inènie eùlé de ce cycle, côlé que nous appellerons V e.rtérieur du cycle.
Soienl ;
V le noinlue des iiieuds el des lo\ers eonlenus à I intérieur du cvele;
v' le noinlire des nuiids ei des Iomts silués à l'exlèrieur du cvele;
■' el "'' le noiiilire des cols situés à l'iiiléneur et à I exléneiir de ce c\ele.
On i
I>i cycle loupe I ('•qiiateiir l'ii iiii cerlain noiiiKic; de point», de telle façon
(ju'oii |)eul 11- piirliii;»'!' en un ccriaiii noniLrc de cvclcs scconclairos situés les uns tout entiers dans le premier liéniisplière, les autres loiil entiers dans le second hémisphère, et formés à l'aide d'ares du cycle primitif et d'arcs de l'équateur.
Sup])osons, pourfixerles idées, quele cycle donné soit le cycle ALDKCGBHA, (pii coupe l'équateur aux points A, B, C, D {/ig- 20 ). I.c cycle se déconq)Ose
Pis,. 30.
en trois cycles secondaires :
AEBHA, CFDKC, CGBEALDFC.
Ôi', d'njircs le théorème I \ , on a
— (v — -;) = iiid. AKBHA -h incl. CFDKC + ind. CGBEALDFC.
Soient, mainteiiaiil, a, 7.', a", a" le nomhre des tani;cnces directes des arcs AHB, CRD, CGB, Al.i); fi, [i', p\ 8'" le nond.rc de leurs lanj;encc> Inyerses;
soient A et ),' le noinluc de lois cpie :rr sautc> de — x à + x ijuaiul on paicourL
les arcs AEB et CFD ; ^ ci 'x' le nond)r(^ de fois que v- saule de -\- ce à — oc
quand on parcourt les arcs Al^B et CFD; on a, en yerlu du lemme II et en remarquant que tout le loni; du cycle d(Uiné on a
■1 ind. AEBHA = — a + X— |ji-Hp, 3 iiiH. CFDKC =- 7.'+ l'^ ■j.'+ r.
d'oii
2 ind. CGBEAL =— 3c"— a'"-^ ,3"-^ '-,■"— X - }>'+ ji -^ (x . — (av — 2-') = S -•- ^'-+- p"-^ S'" — oc — a' — a" — a'",
fici MKMOIIIK SIR LES COUHBKS DKl'lNIES PAR UNE ÉOI'ATION Diri'rilENTIRI.I.r:.
OU, cra|>r('> le Irmnic I,
On a donc aussi
d'où
Dans les cas où les points »), w' sont de part et fraiitic ilii cycle, la difficullé est facile à tourner. En ellet, on trouvera loujoiirs sur la sphère deux points diamétralement opposés qui soient d'im mi-me côié du cycle, et il suKira d'un clianf;enicul de \arialiles |)()iir rctiindxr sui' le cas précédent.
SI l'on ne liiiine pas sui' la splièrc deux points diamélralemenl opposés qui soii'ul d'un même côte du cycle, c'est (pie les points du cycle sont deux à deux diamétralement opposés, c'est-à-dire (juc le cycle est syméiritpie à lui-même par ra|)port an centre delà sphère, et alors le théorème est évitlent parlui-mème.
Théoukmk W I. — Un cycle nlgébric/ue ijui passe jkii- Ions les nœuds el prir Ions les foyers rencontre tons les cycles limites.
En ellel, soit un cvelc limite (- (pieleonipie ; il ((inlient ceilains nceuds el certains foyers à son inlérieur, eiTlains no'iuis et certains foyers à l'exléiieur.
Il V a donc des points du cycle alj;él)riipie donné (pu soni à ICxtérieur de C, et d'aulrcs qui sont à l'inlérieur, c'esl-à-dire (pie le cycle algébrique donné rencontre C. c. q. f. d.
Corollaire. — Tout cycle ali;él)ii(pie (pii passe par I(mis les no'uds cl [tar tous les loyers rencontre toutes les caractérislKpu's.
Tiii';ouh:ME X\ il. — Les cycles limites sont en jtontbre fini, jtonr^n qiûauciin d'cnx ne passe par un col.
V.n cM'et, faisons passer un c\f]r. ali;éhrique (] par Ions les nœuds el par tous les l'oM Ts. Soient
les équations de ce c\(le C
Ce cycle C, rencontrant tous les cycles limites, aurait une mlinilé de points d'intersection avec ces cycles limites, si ceux-ci étaient en noiiduc inliin. 1! y aurait doui un point de ce cycle C autour diKjiiel ces points d intersection
MÉMOrnE SUR I,F,S COURBES DKFINIKS PAR U.VK KQUATION DIFFlilIKM lEI.I.IÎ. <il
seraient infiniment rapprochés, c'esl-à-dire que si
est la loi de conséquence d'un certain arc sans contact du cycle C, il y aura une certaine valeur - de t„, lell(^ que, /„ variant de t — s à t + e, /, devienne un nombre infini de fois égal à /„.
Mais, si T ne correspond pas à une caractéristique passant par un col, es (<„) est holomorphe pour tg=^-^ et l'on ne peut donc avoir une infinité de fois (/„ variant de-ï — eàT + s)
Cela ne peut ai'river non plus si t ne corropond |)as à un cycle limite. Donc on ne peut avoir une infinité de cycles limites qu<! si Fun d'eux va passer par un col.
Théorie des anneaii.r limites. — .Soit encore un cycle algébrique C passant par liMis les nœuds et par Icni'. 1rs fojers. On peut v découper un certain nombre d'arcs sans contact contenant tous les points qui correspondent à des cycles limites et ne contenant aucun des points qui correspondent à des caractéristiques passant par des cols.
Soit /, =-j(/(|) la loi de conséquence de l'un de ces arcs, et supposons que l'on fasse varier /„ di-piiis a jusqu'à fj ; que les points t„^y., <„ ^ p aient deux
l''ii;. 2 1 .
conséquents /, = a', /, = [3'. Soit A, le point de l'arc sans contact qui correspond à ^||=^T. Supposons que l'on considère le point de la sphère qui se trouve sur la caractéristique qui passe par A,, et qui est séparé de A, par un arc s de caractéristique, et qu'on fasse correspondre à ce point un point du plan qui ait pour coordonnées 5 et t {/iff. 21).
CfX MÉMOIRE SUR LES COIRIIKS DKinNIES PAU UNE ÉQIATION DIFFÉRENTIELLE
A lare .■■ans cimlacl curroiioiiilioiil :
I " Le M'i;nu'nl de la tirciili' s =r o i'om|jris ciiUf lo |i(iliil> -. = 01, - = p, soil AB {fiff 21);
2" l 11 ( iilain arc ilc i-ourbe CD, dédni nar IV'iiiialKiii
). (t") étant la lon|;ii<Mir de la caractérislitiuc passant par A, rpril l'aiil |)arroiirir avani de rcnconlier de uuiivcaii l'arc sans contact.
Un point quelconque de l'arc sans contact sera représenté par un point B,du segmoiil AB et par un poiul D,- de l'arc (^D. Tout arc de courbe allant de D, à B,- représente un cNelc; ce cycle sera sans contact si l'arc de courbe D,- B/ n'est tangent à aucune des di't)iies t =^ eonst.
Oi' il est clair (pi ou peut joiii<l re |)ar des droites A et C, E et 1), |)uis sillunner le quaili'ilatère niixtilij^ne ABCI) |)ar des arcs de courbe qui ne soûl taiij^ents à aucune lies droites T = eonst. <■! ipii ne se coupeni eu aucun |Miinl.
Conséquence. — Aiiloiir d'un cycle liinile qiielcoii(|ue se trouve une région annulaire (jui est limitée par deux cycles sans conlact que nous ap[iellciiuis cycles frontières, et ipii es! sillonnée tie cycles sans contact cpil ne se coupent en aucun point.
Ces régions annulaires s'a|)pellei'ont anneaux /imites et seront en nombre Uni.
Autf)ur fies nieuds et des fo\ers, on peul également tracer une série de cycles sans contact s'enveicqipanl miiliiellemeul, de sorte que les na'uds et les loyers ont aussi leurs anneaux limites.
Nous avons implif-ilemenl su[iposé qu'aucun cjcle limite ne passait ])ar un col, car nous avons envisagé sur le cycle algébrique C des arcs sur lesquels se trouvaient tou> les |)oints aiix(jucls correspondent des cycles limites, et ne se troiivail aiicnii des points aux(piels corrcspondenl des caiaclérisli(|ues passant par des cols.
Supposons maintenant qu'un cycle limite aille jiasser |)ar un col; nous savons que deux ca'- peii\enl "•>• piésetiler ;
1' Lne pareille ( uiui terislique n'e=t cycle limite que des caracténstique» qui lui sont suffisamment voisines et qui sont situées à l'intérieur du cycle (voir /ig. 19;. Dans ce cas, on découpera sur le cycle C un arc sans contact, limité
MÉMOIRE SUR LES COURBES DÉFINIES PAR l'NE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 63
;ni point qui correspond au cycle limite qui passe par nn col, et ne contenant aucun autre point correspondant à une caractéristique passant par un col et, raisfuinant comme dans le cas général, on fera voir que le cycle qui passe par un col a également un anneau limite, mais dont il est lui-même le cycle frontière.
2" Les cycles HAMBH, HCNDH {fi g. 19) sont cycles limites des caractéristiques situées à l'intérieur de ces cycles pendant que le polycycle HAMBHDNCH est cycle limite des caractéristiques extérieures.
Raisonnant comme dans le picmier cas |)articulicr, ou verrait que cliacun de ces trois cycles a un anniau limile, dont il est lui-même le cycle frontière; de sorte que ces trois anneaux liniiles forment par leur juxtaposition une seule région annulaire.
Régions inlcrannulaiics. — l>es 03 des Ironliéro divisent la spliére en deux catégories de régions : 1° les anneaux limites que nous venons d'étudier; 2" les régi(ui> intciannuiaires.
Ln iiioliile |iai courant une ('aiactéri^ti(| l'imc vitesse uniforme et ])artant
d'un point situé dans une région inlerannulaire ira, après un temps fini, traverser un cycle frontière pour passer dans un anneau limite.
Caries régions intciannuiaires ne contiennent ni nœud, ni fover, ni aucun [loinl des cvcles limites.
Je dis que les régions interannulaircs sont, comme les anneaux llmlles, sillonnées |)ar des cycles sans contact. En effet, supposou>, pour fixer les idées,
b.\ MÉMOIRK SUR LES COURBKS DÉFINIES l'AR UNE ÉQUATION DIPKÉliENTIIÎLLE.
qu'une région inlerannulaire soil liniilée par Irols cvcli's (Voiilirrcs A, B, C el divisée en deux parties, sillonnées, la preinièie par dos caractérisliques allant de A en B, la seeonde par des caractéristiques allant de A en C. Les deux parties de la région devront être séparées par une caractéristique allant passer par un col D (,//:,'. '22). Soient aD, a'D, [jD, [i' D les cpiaire hranclies de caractéristiques issues de D.
Soit T un paramètre quelcontjue définissant un point A, du cvcle A. Soient (-r, )•) un point d'une caractéristique issue de X|, et .v l'arc de caractéristique qui sépare [JCiJ') de X,- Représentons le point de la sphère {j-,}') par le point du plan dont les coordonnées sont 5 et t. La droite A|C|B| (i=o) (/'^'. 23")
Bi
représentera le cycle A; A, et B, représciUeronl le point a; C, représentera le pointa'; les arcs EjE,,, E^ I"., npiésenleront respectivement les cycles B etC; D,,Do,D;, représenteront le point D; E-, el E3 représenteront 3; Eo et E, représenteront p'. D'ailleurs, on aura
Le
E4D:,= IÎ3Di, E2U,= liiI)j, ^0, où l'on a
A,a<A,D3, PC,<D,C,,
eC, > D|Ci,
A,D,= l5,Do.
Aia = B,Y,
ÇC, > IJ,C„ OD, = Ç D,,
représenli Ml des c\cli-s. cl ces cycles seroiil mois (nnliid m les arcs a[jy, os, Çh n'ont pas de tangente paialliii' à l'axr dis s. Or il est clair- (prou peut sillonner le poljgoni' iiiixliligne AiB, l], l'^jlV|lv, d'arcs satislaisaut à celle
MÉHOlnE SLR LES COl'BBES DÉFINIES PAR LNE ÉQLATION DIFFÉRENTIKLLE. 65
condilion. Donc on peut sillonner la région Jntcrannulaire de cycles sans contacl, ce qui j3ermet d'énoncer le tliéorème suivant :
Théorème XVIII. — ■ Il existe toujours un système toiiographique formé de cycles sans contact^ de polycycles sans contact et de cycles limites. Ce système lo/jographicjue sillonne toute la surface de la sphère. Les fonds et les sommets sont les nœuds et les foyers de l'équation donnée. Les cols sont les cols de ^équation donnée.
La connaissance de ce système topographique permet de discuter coni|)lèlement les formes allectécs par les courbes que délinit l'équation dlllérentielle donnée. On le comprendra inicux, d'ailleurs, par les exemples qui vont suivre.
