III. — Équations non linéaires (iiV

Il resterait à faire pour les équations non linéaires ce que j'ai fait pour les équations linéaires, c'est-à-dire à trouver des développements des intégrales

PIlE.MIliBIi l'Annr. — KgHTIOXS DIFFÉnEXTIELLES. XVII

qui soient toujours convergents. Je n'ai pu y parvenir; j'ai seulement reconnu que l'on peut, d'une infinité de manières, exprimer ces intégrales par des séries qui convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j'ai opéré (24, 77).

Je mets les équations différentielles sous la forme

dj^i dx, dx,i

Al X2 An

les X, étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J'introduis ensuite une variable auxiliaire .s définie par l'équation

dj:i dr, ^ dx,, ds

"x; " TT Xr "" Xî-t-x^H-...-i-x;;-+:7"

Je puis alors démontrer que si a est convenablement choisi, les variables x, peuvent se développer suivant les puissances croissantes de

et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de s. Si l'on applique ce qui précède au problème des trois corps, on verra que, quand s varie de — 00 à -\- co, t varie de — 00 à +00, de sorte que les développements restent convergents pour toutes les valeurs réelles du temps. Il n'y aurait d'exception que dans l'hypothèse, assez peu vraisemblable d'ailleurs, où deux corps viendraient se choquer à l'époque <„, et les développements ne nous apprendraient rien sur ce qui se passerait après l'époque du choc; le problème d'ailleurs ne se pose même pas. Si de plus on suppose que les élémentsinitiaux aient été choisis de telle sorte que les distances mutuelles restent constamment supérieures à une limite donnée, on peut remplacer la variable auxiliaire s par le temps lui-même et développer suivant les puissances de

Ainsi que je l'ai dit plus haut, je n'ai donné cette solution qu'à titre d'exemple.

Une pareille intégration est d'un caractère bien différent et évidemment

beaucoup moins satisfaisante pour l'esprit que l'intégration des équations

linéaires par les fonctions fuchsiennes. Aussi y avait-il lieu de se demander si

les méthodes qui avaient réussi pour les équations linéaires n'étaient pas appli-

XVIIl ANALYSE DES TRAVAUX SCIENTIFIOUKS DE HENRI POINCAHE FAITE PAR LUI-MEMK.

cables à d'autres classes d'équations, quoiqu'elles ne le fussent pas dans le cas général.

Un peu de réflexion fait tout de suite comprendre quelle est la différence essentielle entre le cas général et celui des équations linéaires. Les équations linéaires n'ont qu'un nombre fini de points singuliers, tandis que les équations non linéaires en ont en général une infinité. On est donc amené à rechercher s'il n'existe pas d'autres classes d'équations dont les points singuliers soient en nombre fini.

M. FucHS a publié, dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin, un Mémoire où il expose les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle et, en particulier, pour qu'une équation du premier ordre n'ait qu'un nombre fini de points singuliers. On put croire un instant que l'on était sur la voie d'une nouvelle catégorie de transcendantes uniformes et d'une nouvelle classe d'équations intégrables.

Je fus donc amené à faire un examen plus approfondi de la question (48, 71); mais cet examen m'obligea à renoncer à l'espoir que j'avais conçu. Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fucus, ou bien se ramènent à l'équation de Riccati et par elle aux équations linéaires, ou bien sont intégrables par les fonctions elliptiques ou algébriques. On n'est donc jamais conduit à une classe réellement nouvelle d'équations intégrables. M. Painlevé a été plus heureux en passant aux équations d'ordre supérieur.

Quoi qu'il en soit, le résultat de M. Fucus conserve encore son intérêt, puisqu'il nous fait connaître une catégorie d'équations différentielles intégrables algébriquement. Mais, en tout cas, le problème de l'intégration des équations non linéaires ne peut être regardé comme résolu.

IV. — Intégration des équations par les fonctions algébriques et abéliennes (7. 10, 40, i2k, 219, 221).

Bien que le problème de l'intégration des équations linéaires soit résolu dans le cas général par l'emploi de nos transcendantes nouvelles, ce résultat laisse subsister tout entier l'intérêt qui s'attache aux cas particuliers où l'intégration peut se faire au moyen de fonctions plus simples, telles que les fonctions algébriques, elliptiques et abéliennes. D'ailleurs les procédés d'intégration par les fonctions algébriques et elliptiques rentrent facilement dans la méthode générale qui comprend ainsi comme cas particuliers les procédés déjà

PREMIERK PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFÉBENIIELLES. XIX

connus. Il en résulte que cette méthode jette quelque lumière sur les difficultés qui se rapportent à l'emploi des procédés particuliers. En ce qui concerne la recherche des cas d'intégrabilité algébrique, le premier problème à résoudre était de former les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire. Ce résultat a été obtenu par M. Jordan il y a quelques années; mais je ne crois pas que ce savant ait démontré qu'à tout groupe d'ordre fini correspond une équation linéaire intégrable algébriquement. L'emploi des fonctions fuchsiennes m'a fait voir aisément (40) qu'à tout groupe d'ordre fini correspond, non pas une, mais une infinité d'équations dont les intégrales sont algébriques. Pénétrant ensuite plus profondément dans la question, j'ai cherché à quelles conditions une fonction algébrique dont on se donne le groupe de Galois satisfait à une équation linéaire d'ordre p. J'ai trouvé que certains déterminants dont les éléments s'expriment tantôt à l'aide des racines de l'unité, tantôt à l'aide des périodes des intégrales abéliennes de première espèce correspondant à la fonction algébrique considérée, devaient être nuls à la fois. D'autre part, on peut, sauf dans certains cas exceptionnels, trouver un système fondamental d'intégrales de première espèce, tel que les périodes normales de l'une quelconque d'entre elles soient des fonctions linéaires à coefficients entiers des périodes normales de la première. Je fus ainsi conduit à exprimer la condition cherchée sous la forme de certaines relations entre les périodes normales des intégrales de première espèce qu'on peut former avec la fonction algébrique considérée.

Au contraire, les procédés d'intégration par les fonctions abéliennes ne rentrent pas dans la méthode générale. On y est conduit en cherchant à généraliser les méthodes d'intégration par les fonctions elliptiques (10). On sait que la théorie des fonctions elliptiques permet de calculer les intégrales des équations linéaires du second ordre dans trois cas entièrement différents :

i" Lorsque les coefficients étant rationnels, il y a trois points singuliers tels que la différence des racines des trois équations déterminantes soit respectivement - ) - et ^ 1 ou bien - , - et , , ou bien encore - > ^ et - :

a° Lorsque les coefficients étant rationnels, il y a quatre points singuliers

tels que la différence des racines de chaque équation déterminante soit ^ ;

3° Lorsque les coefficients étant doublement périodiques, les intégrales n'offrent d'autre singularité que des pôles.

\X AJtVLTSK DES TBATAUX SCIENTIFIQUES DE HEMXl POINCMtK FAITK PAU Lll-MEME.

M. Appell a généralisé le troisième cas en montrant que, lorsque le groupe de l'équation linéaire se réduit à un faisceau, la dérivée logarithmique de certaines intégrales est algébrique et que l'intégration peut s'effectuer par les fonctions abéliennes. J'ai voulu de même généraliser le premier et le second cas.

Je suis arrivé ainsi à une infinité d'équations linéaires du troisième ordre à coefficients algébriques dont les intégrales s'expriment à l'aide des fonctions abéliennes de deux variables. De même, les fonctions abéliennes à p variables permettent d'intégrer une infinité d'équations linéaires d'ordre p+i.

J'ai indiqué ensuite succinctement les principales propriétés des groupes de ces équations.

Je me suis préoccupé aussi de rechercher des cas où les équations non linéaires sont susceptibles d'intégration algébrique, mais je me suis restreint aux équations du premier ordre et du premier degré.

La voie avait été ouverte par M. Darboux. Je l'ai suivie à mon tour dans deux Mémoires insérés aux Rendiconti del Circolo Matemadco di Palermo (219, 221). Le problème doit se poser ainsi : étant donnée une équation différentielle, reconnaître, par un nombre fini d'opérations, si elle est ou non intégrable algébriquement. Ce problème pourrait évidemment être regardé comme résolu si l'on savait déterminer une limite supérieure du degré de l'intégrale générale, si on la suppose algébrique.

Après avoir donné un certain nombre de relations numériques entre le degré de l'intégrale générale, son genre, le nombre des points singuliers des diverses espèces, le nombre des valeurs remarquables pour lesquelles la courbe algébrique qui représente l'intégrale générale se décompose et les degrés des composantes, je résous le problème dans un cas particulier, celui où les deux entiers caractéristiques relatifs à tous les cols sont égaux à i.

Dans le cas général, je n"ai obtenu que des résultats partiels ; j'ai par exemple limité le nombre des valeurs remarquables pour lesquelles notre courbe se décompose et le nombre des composantes; mais il y a encore deux entiers qui jouent un rôle dans le problème et qui restent inconnus, ce qui m'empêche de limiter le degié, sauf dans certains cas particuliers.

Quand on veut aller plus loin, les inégalités algébriques dont je me suis servi ne peuvent plus suffire et les difficultés à vaincre sont d'une nature pour ainsi dire arithmétique; c'est ce que je montre sur un exemple simple où ces difficultés peuvent être surmontées grâce à l'emploi des fonctions elliptiques.

PRK.MILBE PvnTIE. — ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES \XI

Je termine par une étude de ce qui se passe dans le voisinage de certains points singuliers. Dans le voisinage d'un nœud quelconque, on peut trouver deux séries infinies X^ et Xj procédant suivant les puissances des variables et qui, égalées à zéro, fournissent deux solutions particulières de l'équation différentielle. On voit alors que l'intégrale générale si elle est algébrique se réduit à une fonction rationnelle homogène de deux puissances entières de X) et Xg. Or à chaque nœud correspondra une semblable expression do notre intégrale générale. Si nous égalons deux de ces expressions, la discussion de l'égalité ainsi obtenue, discussion où s'introduisent les fonctions fuchsiennes, conduit à plusieurs résultats importants.

V. — Courbes définies par les équations différentielles 1,3, 20, 23, 7i, "a, 76, 77).

Alors même qu'on parviendrait à faire pour une équation quelconque ce que j'ai fait pour les équations linéaires, c'est-à-dire à trouver des développements des intégrales valables dans toute l'étendue du plan, ce ne serait pas une raison pour laisser de côté les résultats que l'on peut obtenir par d'autres méthodes, car il peut arriver que ces méthodes nous fassent découvrir certaines particularités que les développements ne mettraient pas immédiatement en évidence. C'est ce qui m'a décidé à me placer à un point de vue nouveau et je ne saurais mieux le faire comprendre qu'en reproduisant ce que j'écrivais au moment où je commençais ces recherches (^) :

« Il est donc nécessaire d'étudier les fonctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algébriques, qu'on avait cherché à ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait pour les intégrales de différentielles algébriques, qu'on s'est efforcé longtemps d'exprimer en termes finis.

Rechercher quelles sont les propriétés des équations différentielles est donc une question du plus haut intérêt. On a déjà fait un premier pas dans cette voie en étudiant la fonction proposée dans le voisinage d'un des points du plan. Il s'agit aujourd'hui d'aller plus loin et d'étudier cette fonction dans toute

(*) Journal de Liouville, 3^ série, t. VII.

X\ll VN\L1SI-: IIES lll.WVUX SCIENTIKIOUKS Ui: IIICNHl l■OI^CAItÉ KVlTIi l'AU I.L l-MÉME.

l'étendue du plan. Dans cette recherche, notre point de départ sera évidemment ce que l'on sait déjà de la fonction étudiée dans une certaine région du plan.

L'étude complète d'une fonction comprend deux parties : i° partie qualitative (pour ainsi dire), ou étude géométrique de la courbe définie par la fonction; 2° partie quantitative, ou calcul numérique des valeurs de la fonction.

Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, on commence par rechercher, à l'aide du théorème de Sturm, quel est le nombre des racines réelles : c'est la partie qualitative; puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même, pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de Mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches de courbe fermées, les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe, on peut en déterminer exactement un certain nombre de points.

C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant : Construire les courbes définies par des équations différentielles.

Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction, et elle y conduira d'autant plus facilement que l'on connaît déjà des séries convergentes qui représentent la fonction cherchée dans une certaine région du plan, et que la principale difficulté qui se présente est de trouver un guide sûr pour passer d'une région où la fonction est représentée par une série à une autre région du plan où elle est exprimable par une série différente (^).

D'ailleurs cette étude qualitative aura jiar elle-même lui intérêt de premier ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de Mécanique peuvent en effet s'y ramener. Prenons, par exemple, le problème des trois corps : ne peut-on pas se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment; si la dislance de deux corps augmentera, ou diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites ? Ne peut-on pas se poser mille questions de ce genre, qui seront toutes résolues quand on saura construire qualitativement les trajectoires des trois corps ? Et, si l'on considère un nombre plus grand de

(') Ces considérations m'ont eft'ectiveinfini servi ilc fçiiiili' lUins des rcelierches relatives au calcul numérique de l;i loiicCion {'2'ij.