CHAPITRE XI

llfîORIF DES CENTRES.

iù'rivons notre é(piali(ni ddléM-enllrlle soii^ la fofnie

ilx dy

lit " ' dt " '

de manière à lui faire représenter le mouvement d un poinl niohih'. .Sii|)]in.s()n> que X et Y soni des polvnomes de degré n en <r et ony. Supposons de plus que nous avons pris pour orii;ine le point singulier que nous voulons étudiei-, de telle façon (pic \ cl ^ s'annulent a\cc j: el v- Nous ponrrnns écrire alors

\/ et ^ ,■ étant des polynômes homogènes de degré i en .r cl eu ) • ( .IiitcIioiis

maintenant si Ton petit former un polynôme F en .r et en y, (\i- Icllc façon

cjue, dans l'expression

* = 4^X^^Y, ci.r ay

qui est aussi un polvnomi^ enlicicn r el en j', les termes de dcgic inlciicnr

à^ en x et on y soient lous nuU.

Nons pourrons écrire

(F,- étant liomogéne di' degré / en .r et en y), en siqiposjul . ce (pii csl ii (■■cessai rc pour notre objet, que F ne coniienne pas de terme de degré o ou i .

(') \'oir ce Toine, p. ii.

f-) Voir ce* Tome. p. c;.

<)0 SIR l.KS roi UBKS DICI'INIES PAU LKS ÉQUATIONS DIFFliftENTlRlXES.

l'osi)n> OUMIlIC

dF, .. dFi ..

'■1?H sera iiii |)ol\noni(' liomoiït'iie cii' u(i;i'('; ? + /,■ - i .

Si n(iii> i'cri\(iiis (iiic, (l;ni> <I>. Ions les Icnncs de (l(;;n' inicncnr à /; muiI

iuil>. il \ ii'iulrii

|'l>..i =0, ■l'ai =— l'-î,

La |)it'mi('ic lie ces écjiialioii.s imiis doniura V-2, la ilciixiOinc F; , cl enfin

la /) — a"'""" nou.s donnera F^-,, poiiiiii toutefois qu'il soit possibL^ d'y satisfaire.

Considciiiiis il aliiird la |iicniicrr rqualrcin.

Soicnl

Fo = « .r- -1-26 xy -T- ry^.

X,= axH-p>-, y 1 = -fx -{- Sy,

il \ ifMil

- >I>2i = ( a.T — by) (aa^ -T- [iy ) ■+- ibx -+- cy) {-^x -+- oy),

de sDi'lc i|iii' la |irrinirrr r(|naliiiii 1 1 I rnlraînr les liois Muvanh's :

ces é(|iiali(pns ne sdiil «niiijial diics (juc m I un a

Si CCS (Icnx. coudilions sonl rcm|)iic,s, on rclondicia >ni- le quatrième cas subordonné dont nous avons dil f[n('l(|ue,-. mois à la |)ai;c ujo <ln Tomr' ^ Il ( ' ), mais (jup nous n'avons |)a,s encore cindic à lond.

Si elles II elaiciil pas rcm|)lies. an <(iiil raire, le |ioinl singulier scrail ira

r ' j \ oir ce Toino. |>. \-.

Si:n LES COURBIÎS DliFINIES PAR LES ÉyiAllONS DIFFÉItlî.NTIELLES. (jy

nœud, lin iuyv ou un col, et nous n'aurions rien à ajouter à ce cjuc nous avons dcjù dil au sujet de ces points. Nous supposerons donc ces deux conditions satisfaites.

La forme F-, étant définie positive, nous pouvons toujoins 1 l'icrire sous la

(orme Sun anle :

(Xx -+- iJ-y)--i- (X'.r -+- iJ-'y)-.

SI nous changeons ensuite de \arial)Ies en posant il \ iendia

En conséquence, non-, pouxons toujours supposer (pie

car, si cela n'était pas, il suffirait d'un cliangement linéaire tic variables pour ramener F-, à cette forme. Nous ferons désormais cette lijpollièsc.

Quelles en sont les conséquences au sujet do X, et de Y( ?

Les équations (2) deviennent

a = o, 0 = 0, j3 + Y = o ; d'où

Les autres équations (i) s'écrivent alors

où F,y est un polynôme liomogènc de degré q qu'il s'agit de délernilner, pendant que llç est un polynôme homogène de degré q qu'on jieut considérer comme donné, puisqu'il ne dépend que des polynômes X et \ et des polynômes homogènes F^, F3, .... Fy, que l'on a du calculer avant Fy.

Dans f[uel cas est-il possible de satisfaire à une équation de la forme ( /j) ?

Pour résoudre cette question, nous allons passer aux coordonnées polaires en

posant

X = p costû, ^ = p sintu.

Il viendra

dx dy du)

9» Sl'H I.KS COUBDES DEFINIES PAU l-KS ÉQUATIONS DIFFBRENTIELLES.

De j)liis, on aura

(s(o)) = !£A/,cos/. to + S B/, siii/iiu,

i!((a)) = SC/,- cos/.(o + 1 D/, sin Aïo.

Dans ces expressions. /»• n<' iiomra prendre que des Aaleiirs inférieures on an plus égales à (7, el de nirine parité qne (7. En particuliei-, si q est impair, il nr pourra ]ias y axoir <li' iciinc louL connu (c'est-à-dire de ternie où A' = o). l."(''(pialion ( "i ^ sécril alors

Pour ipi'du puisse y satisfaire, il faut et il sidlil (jue 'l (co) ne conlicnne |)as de lernie (oui connu, c'est-à-dire que l'on ait

Co= o.

Celle condilion est remplie d'elle-même, comme nous venons de le voir, lorsque rj esl impair. Elle ne l'est pas, au contraire, en général, lorsque q est pair.

Si q I-.I impair, il y a donc loujoui's une manière et une seule de satisfaire à l'éipialion ( ^) : il Millil déposer

.Si q e>l pair el si, cejiendanl, Cl,, esl nul, il y a une inlinité de manières de satisfaire à noire équation; on fera encore, en eflcl,

^1 /.■ est dinèicnl de zéro, et l'on poui'ra cliolsir \(, ari)ilraireineal .

(^u'ari'iv e-t-il cnliii si q e>t |)air et si Cq n'est pas nul? Dans ce cas, il est iin|)Ossil)le de satisfaire à l'écpialioii ( 'j ), mais on peut elioisir Fy de telle façon que

i/.v dy

pour toutes les valeurs de x et dey si C^ est positif.

Au contraire, si C,, est iit';iatif. lUi poui-ra <liol^ir 1'",^ de telle façon que l'on ait toujours

Il 'iillil. pijiir cela, de faire

SUR LES COlRnES DEFINIES PAU LES EQUATIONS DIFFEHEMIELLES. 99

pour toutes les valeurs île k dillerentes de zéro. A„ restant arlHlrairc. 11 vient alors

Suieul, |)ar exeni[)l Il \ieildra

Faisons alors 11 \ iendra

g = I, Il,= lia;-

'U= ?* — *-^ ! r^ cos4(

•' dx dy 4 ■^

Si .î|j=:a, le premier nienihre de eeltc étpiation e>l nul. cl i"iin a >ali>l'ail à l'équation (4)- '"^i ^>Iil>a, le premier membre est positif, ([uels rpie soient x Q\ y. Si .'5p << a, le |)remier membre est négatif, quels que suient x i'Xy. Cela posé, on voit aisément que l'on peut faire deux hypothèses :

1° On peut supposer d'abord que l'un puisse déterminer Fo, F.s, ..., F^| de faeon à satisfaire aux q — i premières équations (i); mais qu'il soil impossible ensuite de déterminer F^ de façon à satisfaire à la q — i"™° équation (i). Dans ee eas, q est néeessairement j)air. et nous déterminerons F^, eonime il vient il'èlre dit, de telle façon tpie

Nous poserons ensuite

F = F,+ FaH-...+ F,,-+-F,,.

■le dis (pie, si k oi une conslanle |)ositi\(-' suflisamuunl petite, l'équalicMi

représenlera une courbe fermée qui sera un cycle sans eonlaet.

En effet, si p est suffisamment petit (plus petit que p^, par exemple), la

finiction F va en décroissant cjuand p décroît de p„ à zéro, to restant eonsianl ;

dp, . , . . dF

car, SI ; e>t très petit, e est —r^ =; 2 i qui dunne son sisne a -i— • i I d; ' 1 '^ d-j

loo sih LKs counnics dkfixif.s pai\ les eo''ations niFFEHF.NTiia.i.Es.

Suil Au la |)lu,s petite valeur (jiie piiisse preiidr*- 1" le long du ecrclc p = p,,, et soit /.- < An-

11 est clair (|ue V = k scia une eoiii-be fermée, ou |iliit("il (|ue, |iarriii les bruiiches dont se compose cette courbe ali;él)ri(|ue, il y en a une (pu est reiniée, qui enveloppe l'origine cl qui est intérieure an cercle p ^ Oq. C'est celte branche que nous envisagerons à l'exelusion de toules les autres.

Maintenant, pour qu'il y eût contact entre ce e^clc et une de nos trajectoires,

il faudrait (jue l'on eùl

, -. dF ., (IF

ax dy

Or le polynôme <1>, par hypothèse, n'a pas de terme de degré inférieur à q^ et ses termes de degré q se réduisent à

Si p est inférieur à une certaine limite (et nt)us pourrons toujours supposer que po est inférieur à cette limite), ce sont ces termes de degré q qui donnent leur signe à •I', et, comme ils sont toujours de même signe, <I> ne peut pas s'annuler.

11 ne peut donc y a\ oir de contact entre nos deux courbes.

AiuM l'inléneur de la courbe 1" = /,■„ est sillonné par une infinilé de cycles sans contact s'cnveloppant mutuellrment et enveloppant l'origine.

•Supposons Co négatif pour fixer les idées, on aura, à l'intérieur du cercle

dt ' dx dy

Donc, lorsque / tendra vers + ^ , le point mobile ira en s'éloignanl de l'origine jusqu'à ee qu'il miIi >()rli de la courlje F = A-,,, et, une fois sorti de cette courbe, il n'y pourra plus rentrer. Lorsque l tendra vers — rx,^ le point moliile se rapprochera indéfiniment et asyniplotiqueiuent de l'origine en décrivant une infinité de s|jires autour de ce point. La trajectoire est donc une spirale.

En d'autres termes, il y aura instahililé^ et V origine sera un foyer.

Si Co était positif, il suffirait de changer le signe de <, et l'on retomberait sur les mêmes résultats.

Soient, par exemj)le,

dx 'iix^ dy "y.yx-v — 3 r'

d/ ■' x (Il V.

SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. lOl

Nous ferons Fo^ x- +J'-, F3 = o, et la troisième équation (i) s'écrira

■^ dx dx J i J

Nous avons vu qu'il est impossible, en général, de satisfaire à cette équation. Nous prendrons

et il viendra, comme nous l'aNons vu,

■' dx dy -1 •' '

D'après ce que nous venons de voir, si 3 [j — a n"e>t |)ii> nul, les courbes

seront des cycles sans conlact, |i(iur\u que k soit suflisainment petit. Il y aura instabilité, et l'origine sera un foyer.

Supposons maintenant cjue 3 [3 = a. La troisième équation (i) sera alors satisfaite. Nous prendrons F.j= o, et la cincpiième équation (i) s'écrira

rfFe d¥, „

On trouve, d'ailleurs, en faisant [3 = i, 7. == 3,

et l'on voit qu'il est possible de satisfaire à la cinquième équation (i) en

faisant (')

Nous prendrons ensuite F, ;= o, et la se|)tièine équation (1) s'écrii-a

rfFs dV^ „

8 Hs= 3o.«'S — v/àx'' y- — t^i.x'' y'' -^ xix^ y^ ou

— Hj = jx^ — idx^ y- — ■jx''y''->r ix-y^. Posons X =.- p cosw, JK = p sinoj; développons ensuite Hg suivant les sinus et

(') Il s'esl introduit ici une ei'reur de culcul, qui, d'ailleuis, ne modifie pas les conclusions

lOa Sin LES COniBKS llKFtNlUS P.Vn I.ICS KQLATIONS lUFI'lilllîNTIlîLLKS.

cosinus di's iiuilliplos de w, l'I vt)yi)ns si In U'i'inc tout (■(iimu

csl nul. On Un

d'où

-—7=12 COS'r.) ■+- '1 COS''(0 — l3 COS''(i) ■+■ ■?. cos-io ;

Ain-i il i"-l inipossiljlc de salisliui'r à la sepLiènic éijualion (1); I oi'iginc csl doue encore un foyer.

On doil ronelure de là que, si le uiouNeniiMil dun |ioinl mobile esl défini |iar

les équations

d.r [j.r-' (iy ■\'J.x-y — [iy^

dt ~ ^ 1. ' dt ~ 2

Lt trajectoire de ce point sera toujours instable, quels que soient y. et j5.

Ainsi, l'on cherchera à résoudre successivement toutes les équations (i\ et, dès qu'on se trouvera arrêté, on sera certain que la trajectoire est instable.

2° Mais il peut arriver aussi qu'on ne soit jamais arrêté, ce qui exige une infinité de conditions. Ces conditions sont évidemment nécessaii'es, pour que la trajectoire soit stable, ou pour que l'origine soit un centre. Sont-elles suffisantes? C'est ce (pie nous allons examiner.

Formons suecessix l'iiiciit, à l'aide des équations (ij, les polsiKuiies Fo, Fj, . . ., Fç, et considérons la série infinie

Si elle est convergente, il n'v a pas dr difficulté, car elle satisfera à l'écpialioii

dx ' dy

Les courbes F = A' seront donc les trajectoires du |iiiiii[ inniiilc, ci ce seront des courbes fermées si k est suffisamment petit. Il reste à examiner si la série F'" eonverge.

Posons

X = R coso) — p!l sino), Y = R sin w -h f 12 cosio.

Léqualidii |)ri'ci'dcnlc dc\ iciiilra

:{iî H :ZIi o - o

SUR LES COUBBES DKFINIES PAU LES ÉQUATIONS DIFFÉBENTIELLES. Io3

Nous pourrons dcvelo])])er la fonction — - suivant les puissances croissantes de p, le dc\ cloppcnu'nl commençant par un terme en o-; nous écrirons

Oj, 0;,, . . . étant des fonctions de w. L'équali(jn précédente deviendra et, si Ton pose

les z^ étant des fonctions de w, on déterminera successivement les Zq à laide des équations suivantes qui remplaceront les équations (i) :

>, ( I bis } I ,'. = ,/ ..^ 0^ , 3 -., O3 -f- 2 ;. Oi,

f -7= '7 — l)-'/-l'J2-!-('/ — ^)-,/-i.03-T-- ■ .+ 3^36,-2+ -î-aO,/-!,

S'il est possible de satisfaire aux équations (1) avec des polynômes entiers en x el enj', il sera |)ossiLIe de satisfaire aux équations (i bis) avec des fonctions purement trigonomélri(pies de o) (c'est-à-dire avec des polynômes en cosw et sin w ).

Si, au contraire, il n'est pas possible de satisfaire aux équations ( i) (c'est-à-dire si les quantités C,, ne sont |ias toutes nidles), on pourra néanmoins résoudre les équations (i (/is) et caleuli'r successivemenl les fonctions z].; mais ces fonctions, au lien de ne contenir que des termes trigonomélriques, contiendront des termes où w entrera, en dehors des signes sinus et cosinus, soit à la première puissance, soit à une puissance supérieure.

n est impossible de n'être pas frappé de l'analogie des ternies ainsi introduits a\ ce les termes que les astronomes appellent séculaires. Il y a, cependant, une difl'érence essentielle qu'il importe de remarcjuer. Quand, dans les méthodes habituelles de la Mécanique céleste, on rencontre un terme séculaire, il n'est ])as permis, pour cela, de conclure à l'instabilité de l'orbite; car il peut se faire, ou bien que la série soit divergente, ou bien que le terme ainsi obtenu ne soit

Io4 SIR LES COiniiES DliriMES PAR I.KS ÉQUATIONS Dl l'FERKNTIELLES.

que le ])riMiii(r l( riiic d un dcx i'I(i|)|hiiu'iiI dont l<i .sdinme reste toujours finie. C e^t ain>i (jue ato peut être li' |>icnii('r terme du dé\ eldiinenieul

sinaw = zto — — i . . . .

11 11 en e>l |ui.s de iiièuic dans le cas qui nous occupe cL avec la méthode que j viens d'exposer. Si, dans la suite des calculs, ou rencontre un ternie séculaire, on pourra coïKlure imniédiatenienl à linslalulité ; il n est pas niéiiie nécessaire, pour cela, ipie la série

soil con\er;;('nte.

Nous pouvons poser la queslion de la convergence iiiènie dans le cas où les fonctions ^y contiennent de» termes séculaires; car, Ijien que cette queslion présente alors beaucoup moins d'intérêt, il est avantageux, pour arriver |)lus facilement à la solution, de se débarrasser des restrictions inutiles.

Commençons par dire quelques mots des trois cas simples suivants :

1 2 ' rf(U t> ^ ' ' ' dui Si ^ ' ' ' dM

On trouve alors, pour les intégrales générales des équations du mouvement, en appelant k une constante d'intégration,

g. = /,■, — i- )j — ■ o = /:, h arr. laiie o — o = /,■.

Cherchons à former F.

Dans le premier cas, on trouve aisément

Dans le troisième cas, si nous posons